Sujet national, juin 2016, exercice 2

Énoncé

(5 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d'un total de 10 000 voitures pour l'Europe.
Afin d'entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25 % de son parc et d'acheter 3 000 voitures neuves.
On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite :
Pour tout entier naturel n, on note u_n le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l'année 2015 + n.
On a donc u0 = 10 000.
1. 
Expliquer pourquoi pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1} = 0,75u_n + 3~000.
Exprimez le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l'année « 2015 + (n + 1) » en fonction du nombre de voitures qui restent de celles présentes au 1er mars de l'année « 2015 + n » et de celles achetées neuves.
2. 
Pour tout nombre entier naturel n, on considère la suite (v_n) définie par v_n = u_n − 12 000.
a) 
Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser le premier terme.
Montrez que pour tout entier naturel n, v_{n+1} peut s'écrire sous la forme v_{n+1} = 0,75 × v_n.
b) 
Exprimer v_n en fonction de n.
Déterminer la limite de la suite (v_n).
Il s'agit de trouver le terme général de cette suite géométrique.
Déduisez-en ensuite la limite de cette suite en encadrant sa raison.
c) 
Justifier que, pour tout entier naturel n, un = 12 000 − 2 000 × 0,75n.
Exprimez u_n en fonction de v_n pour tout entier naturel n, et déduisez son expression de celle de v_n.
d) 
En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années ?
Il s'agit de déterminer et d'interpréter la limite de la suite (u_n).
3. 
On admet dans cette question que la suite (u_n) est croissante.
On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.
a) 
Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé.
Utilisez la formule de la question 1. et soyez précis pour compléter la ligne commençant par « Tant que ».
N'oubliez pas, aussi, qu'il faut que l'algorithme retrouve une année et non pas une valeur N.
Sujet national, juin 2016, exercice 2 - illustration 1
b) 
À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.
Calculez les termes successifs de la suite croissante (u_n) pour déterminer le premier rang à partir duquel u_n est supérieur ou égal à 11 950, et déterminer l'année recherchée.
c) 
Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation 12~000 - 2~000\times 0,75^n \ge 11~950.
Pour résoudre l'inéquation, pensez à raisonner par équivalence et à utiliser la fonction logarithme népérien.

Corrigé

1. Soit n un entier naturel. Le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l'année « 2015 + n » est u_n.
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 25 % est 1 − \frac{25}{100} = 1 − 0,25 = 0,75.
Le loueur de voitures revend chaque année 25 % de son parc, donc le nombre de ces voitures qui restent l'année suivante est 0,75 u_n.
Sachant que le loueur achète aussi 3 000 voitures neuves chaque année, le nombre u_{n+1} de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l'année « 2015 + (n + 1) » est 0,75 u_n + 3~000.
Pour tout nombre entier naturel n, on a donc u_{n+1} = 0,75u_n + 3~000.
2. 
a) Pour tout entier naturel n, v_{n+1}u_{n+1} − 12 000, puis :
v_{n+1} = 0,75 × u_n + 3 000 − 12 000 par définition de u_{n+1} ;
v_{n+1} = 0,75 × u_n − 9 000 ;
v_{n+1} = 0,75 × u_n − 0,75 × 12 000 car 9 000 = 0,75 × 12 000 ;
v_{n+1} = 0,75 ×(u_n − 12 000) en factorisant l'expression par 0,75 ;
v_{n+1} = 0,75 × v_n par définition de v_n.
La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme v0u0 − 12 000 = 10 000 − 12 000 = −2 000.
b) D'après la formule donnant le terme général d'une suite géométrique en fonction de son premier terme v0 = −2 000 et de sa raison q = 0,75, on a :
v_nv_0 \times q^n-2~000 \times 0,75^n pour tout nombre entier naturel n.
0 < 0,75 < 1 donc \lim_{n \to +\infty} 0,75^n = 0, puis \lim_{n \to +\infty} -2~000 \times 0,75^n = 0.
La limite de la suite (v_n) est donc 0.
c) Pour tout nombre entier naturel n, on a v_nu_n − 12 000 donc u_n = 12 000 + v_n.
D'après la question 2. b), on a donc u_n = 12~000 - 2~000\times 0,75^n pour tout entier naturel n.
d) D'après la question 2. b), la limite de la suite (v_n) est 0.
D'après la question 2. c), u_n = 12 000 + v_n pour tout entier naturel n.
D'après les règles opératoires sur les limites, la limite de la suite (u_n) est 12 000.
On peut donc conjecturer qu'au bout d'un grand nombre d'années le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur va tendre vers 12 000.
3. a) 
Sujet national, juin 2016, exercice 2 - illustration 2
b) On calcule les termes successifs de la suite (croissante) (u_n) à la calculatrice.
On a entre autres  :
u11 = 12 000 − 2 000 × 0,7511 \approx 11 916 à l'unité près ;
u12 = 12 000 − 2 000 × 0,7512 \approx 11 937 à l'unité près ;
u13 = 12 000 − 2 000 × 0,7513 \approx 11 952 à l'unité près.
Le premier rang à partir duquel u_n est supérieur ou égal à 11 950 est donc n = 13, puis l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures est l'année 2015 + 13 = 2028.
c) Soit n un entier naturel :
12~000 - 2~000\times 0,75^n \ge 11~950 \Leftrightarrow 12~000 - 11~950 = 50 \ge 2~000\times 0,75^n ;
12~000 - 2~000\times 0,75^n \ge 11~950 \Leftrightarrow \frac{50}{2~000} = 0,025 \ge 0,75^n ;
12~000 - 2~000\times 0,75^n \ge 11~950 \Leftrightarrow \ln(0,025) \ge \ln(0,75^n) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0~; +\infty[ et la fonction exponentielle est strictement croissante sur Ensemble R.
12~000 - 2~000\times 0,75^n \ge 11~950 \Leftrightarrow ln(0,025) supérieur ou égal nln(0,75) car \ln(a^n)n ln(a) pour tout a \in ]0~; +\infty[ et n \inEnsemble N.
12~000 - 2~000\times 0,75^n \ge 11~950 \Leftrightarrow \frac{\ln(0,025)}{\ln(0,75)} inférieur ou égal n car ln(0,75) > ln(1) = 0.
\frac{\ln(0,025)}{\ln(0,75)} \approx 12,8 au dixième près, et la plus petite valeur n telle que 12~000 - 2~000\times 0,75^n = u_n \ge 11~950 est 13.
L'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures est donc l'année 2015 + 13 = 2028.