Sujet national, juin 2016, exercice 1

Énoncé

(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.
1. 
Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.
Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013 est :
a) 
[0,713 ; 0,771].
b) 
[0,692 ; 0,808].
c) 
[0,754 ; 0,813].
d) 
[0,701 ; 0,799].
Si f est la fréquence obtenue avec un échantillon de taille n (avec 0 < f < 1, n supérieur ou égal 30 , nf supérieur ou égal 5 et n(1 − f) supérieur ou égal 5), l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est [f − \frac{1}{\sqrt{n}}  ; f\frac{1}{\sqrt{n}}].
2. 
En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [4 ; 11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :
a) 
\frac{6}{11}.
b) 
\frac{10}{7}.
c) 
\frac{10}{11}.
d) 
\frac{6}{7}.
Il s'agit de calculer pP(4 inférieur ou égal  X  inférieur ou égal  10) où la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [4 ; 11].
3. 
On considère la fonction f définie sur Ensemble R par f(x) = (x+1) {\mathrm{e}}^{-2x+3}. La fonction f est dérivable sur Ensemble R et sa fonction dérivée f' est donnée par :
a) 
f'(x)= -2 {\mathrm{e}}^{-2x+3}.
b) 
f'(x)= {\mathrm{e}}^{-2x+3}.
c) 
f'(x)= (-2x+3) {\mathrm{e}}^{-2x+3}.
d) 
f'(x)= (-2x-1) {\mathrm{e}}^{-2x+3}.
Rappelez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables sur l'intervalle I, on a :
(u × v)' = u × v' + u' × v et ({\mathrm{e}}^u)' = u'\times {\mathrm{e}}^u sur l'intervalle I.
4. 
On considère une fonction f définie et dérivable sur Ensemble R telle que sa fonction dérivée f' soit aussi dérivable sur Ensemble R. La courbe ci-dessous représente la fonction f''.
On peut alors affirmer que :
Sujet national, juin 2016, exercice 1 - illustration 1
a) 
f est convexe sur [−2 ; 2].
b) 
f est concave sur [−2 ; 2].
c) 
La courbe représentative de f sur [−2 ; 2] admet un point d'inflexion.
d) 
f' est croissante sur [−2 ; 2].
Rappelez-vous le lien entre la dérivée seconde d'une fonction et la convexité ou la concavité de la fonction, ainsi que son lien avec un point d'inflexion pour cette fonction.

Corrigé

1. Sur cet échantillon représentatif, la fréquence observée de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013 est f = \frac{225}{300} = 0,75.
On a f = 0,75 et n = 300.
On vérifie que : 0 < f = 0,75 < 1, n = 300 supérieur ou égal 30, nf = 300 × 0,75 = 225 supérieur ou égal 5 et n(1 − p) = 300 × (1 − 0,75) = 300 × 0,25 = 75 supérieur ou égal 5.
L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagaires satisfaits de la formation reçue au cours del'année 2013 est :
[f\frac{1}{\sqrt{n}}  ; f\frac{1}{\sqrt{n}}] = [0,75 − \frac{1}{\sqrt{300}}  ; 0,75 + \frac{1}{\sqrt{300}}] \approx [0,692 ; 0,808] en arrondissant au millième près par défaut pour la borne inférieure de l'intervalle et au millième près par excès pour la borne supérieure.
La bonne réponse est la réponse a).
2. La variable aléatoire, que l'on note X, suit la loi uniforme sur l'intervalle [4 ; 11].
On a donc pP(4  inférieur ou égal X  inférieur ou égal  10) = \frac{10-4}{11-4}\frac{6}{7}.
En prenant un nombre au hasard dans l'intervalle [4 ; 11], la probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est \frac{6}{7}.
La bonne réponse est la réponse d).
3. Pour toutes fonctions u et v dérivables sur l'intervalle I, on a ({\mathrm{e}}^u)' = u'\times {\mathrm{e}}^u sur l'intervalle I.
En posant u(x) = x + 1 et v (x) = {\mathrm{e}}^{-2x + 3} pour tout nombre réel x, on a donc u'(x) = 1 et v'(x) = -2{\mathrm{e}}^{-2x + 3}, et :
f'(x) = (u × v)'(x)
f'(x) = u(x) × v'(x) + u'(x) × v(x)
f'(x) = (x + 1) × -2{\mathrm{e}}^{-2x + 3} + 1 × {\mathrm{e}}^{-2x + 3}
f'(x) = (−2x − 2 + 1) × {\mathrm{e}}^{-2x + 3}
f'(x) = (−2x − 1) × {\mathrm{e}}^{-2x + 3} pour tout nombre réel x.
La bonne réponse est la réponse d).
4. On a les propriétés suivantes :
  • une fonction f (deux fois dérivable) est convexe sur un intervalle I \Leftrightarrow f'' est positive sur I ;
  • une fonction f (deux fois dérivable) est concave sur un intervalle I \Leftrightarrow f'' est négative sur I ;
  • le point A d'abscisse x est un point d'inflexion pour la courbe représentative de f (deux fois dérivable) \Leftrightarrow f'' s'annule en changeant de signe en x.
La fonction f'' change de signe sur l'intervalle [−2 ; 2] donc la fonction f n'est ni convexe, ni concave sur cet intervalle, et f' ne peut pas être croissante sur cette intervalle.
f'' s'annule en changeant de signe en x = 1, donc la courbe représentative de f sur l'intervalle [−2 ; 2] admet un point d'inflexion au point d'abscisse 1.
La bonne réponse est la réponse c).