Sujet national, juin 2015, exercice 4

Énoncé

(3 points)
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +\infty[ par f(x) = 3x − 3xln(x).
On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé et T la tangente à C_f au point d'abscisse 1.
Quelle est la position relative de C_f par rapport T ?
Méthode 1
Pour une fonction f dérivable en a, l'équation de la tangente à la courbe C_f au point d'abscisse a est : y = f'(a)(xa) + f(a).
Rappelez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables sur un intervalle I :
(u × v)' = u × v' + u' × v sur l'intervalle I.
Pour répondre à la question, étudiez le signe de la différence entre f(x) et l'expression de l'équation de cette tangente pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; +\infty[.
Méthode 2
Pour répondre à la question, montrez que la fonction f est concave sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.

Corrigé

Méthode 1
La fonction f est définie par f(x) = 3x − 3xln(x) sur l'intervalle I = ]0 ; +\infty[.
Elle est dérivable sur I en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x \inI, en posant u(x) = x et v(x) = ln(x), on a u'(x) = 1 et v'(x) = \frac{1}{x}, donc :
f'(x) = 3 − 3(u × v)'(x) = 3 − 3(u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)) = 3 − 3(ln(x) + x × \frac{1}{x}) = 3 − 3(ln(x) + 1) = −3ln(x).
T est la tangente à C_f au point d'abscisse 1. Son équation est donc :
yf'(1)(x − 1) + f(1) = −3ln(1)(x − 1) + 3 − 3ln(1) = 3 car ln(1) = 0.
Pour connaître la position relative de C_f par rapport à T, il faut étudier le signe de f(x) − 3 = 3x − 3xln(x) − 3 = 3(x − x ln(x) − 1), donc étudier la fonction g définie par g(x) = f(x) − 3 pour tout x \inI.
La fonction g est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables et g'(x) = f'(x) = −3ln(x) pour tout x \inI.
g'(x) < 0 \Leftrightarrow −3ln(x) < 0 \Leftrightarrow 3ln(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1 ;
g'(x) > 0 \Leftrightarrow −3ln(x) > 0 \Leftrightarrow 3ln(x) < 0 \Leftrightarrow 0 <  x < 1 ;
g'(x) > 0 \Leftrightarrow x = 1.
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 1] et strictement décroissante sur l'intervalle [1 ; +\infty[, donc elle atteint son maximum en x = 1.
Or g(1) = f(1) − 3 = 3 − 3ln(1) − 3 = 0, donc g(x) inférieur ou égal 0 pour tout x \inI = ]0 ; +\infty[.
Finalement, la tangente T à C_f au point d'abscisse 1 est au-dessus de C_f sur l'intervalle I = ]0 ; +\infty[ et, T et C_f se coupent au point d'abscisse x = 1.
Méthode 2
Montrons que la fonction f est concave sur l'intervalle I = ]0 ; +\infty[.
La fonction f qui est définie par f(x) = 3x − 3xln(x) sur l'intervalle I est dérivable sur I en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x \inI, en posant u(x) = x et v(x) = ln(x), on a u'(x) = 1 et v'(x) = \frac{1}{x}, donc :
f'(x) = 3 − 3(u × v)'(x) = 3 − 3(u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)) = 3 − 3(ln(x) + x × \frac{1}{x}) = 3 − 3(ln(x) + 1) = −3ln(x).
La fonction f' est dérivable sur I = ]0 ; +\infty[ et f''(x) = -\frac{1}{x} < 0 pour tout x \in I.
f est donc concave sur l'intervalle I et sa courbe représentative est au-dessous de toutes ses tangentes en les points d'abscisse x \in I = ]0 ; +\infty[.
En particulier, la courbe représentative de f est au-dessous de sa tangente au point d'abscisse 1, qui est T.