Sujet national, juin 2015, exercice 2

Énoncé

(5 points)
Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.
Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite (u_n), définie pour tout entier naturel n non nul, par :
u_n = 2 000 × 1,008^{n-1}u_n représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres.
On a ainsi u1 = 2 000 et u2 = 2 016, c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2 000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2 016 euros.
Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.
1. Calculer u3 puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.
Pour u3, vous devez trouver un coût proche de 2 032 euros.
Remarquez que le coût total de forage des 30 premiers mètres est u1 + u2 + u3.
2. Pour tout entier naturel n non nul :
a) Exprimer u_{n+1} en fonction de u_n et préciser la nature de la suite (u_n).
b) En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la (n+1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres.
a) Remarquez que l'expression de u_n, pour tout entier naturel n non nul, est l'expression du terme général de suites connues.
b) Il s'agit de calculer le pourcentage d'augmentation associé au coefficient multiplicateur 1,008.
3. 
On considère l'algorithme ci-dessous :
Sujet national, juin 2015, exercice 2 - illustration 1
La valeur de n saisie est 5.
a) Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de n.
Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire).
Sujet national, juin 2015, exercice 2 - illustration 2
b) Quelle est la valeur de S affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
a) Complétez le tableau jusqu'à ce que i vaille 5.
b) Revoyez la question 1..
4. On note S_n = u1 + u2 + … + u_n la somme des n premiers termes de la suite (u_n), n étant un entier naturel non nul. On admet que :
S_n = −250 000 + 250 000 × 1,008^n.
Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.
a) Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix (utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation …).
b) Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé.
a) Il s'agit de trouver la plus grande valeur entière n telle que S_n inférieur ou égal 125 000.
Pensez à raisonner par équivalence.
b) Remarquez que pour répondre à la question, la boucle de l'algorithme n'est plus une boucle « Pour », mais une boucle « Tant que ».

Corrigé

1. 
u3 = 2 000 × 1,0082 \approx 2 032,13 au centième près.
Le coût du forage de la troisième dizaine de mètres est d'environ 2 032,13 euros.
Le coût total de forage des 30 premiers mètres est u1 + u2 + u3.
Il est donc d'environ 2 000 + 2 016 + 2 032,13 = 6 048,13 euros.
2. 
a. Pour tout entier naturel n non nul, on a :
u_{n+1} = 2 000 × 1,008^n = 1,008 × (2 000 × 1,008^{n-1}) = 1,008u_n.
La suite (u_n) est donc une suite géométrique de raison 1,008 et de premier terme u1 = 2 000.
b) D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, on passe de u_n à u_{n+1} en multipliant par 1,008.
Le pourcentage d'augmentation associé au coefficient multiplicateur 1,008 est :
100 × (1,008 − 1) = 100 × 0,008 = 0,8 %.
Le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la (n + 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres est donc 0,8 %.
3. a) 
Sujet national, juin 2015, exercice 2 - illustration 3
b) La valeur de S affichée en sortie est 10 161,29.
n = 5 donc ce résultat signifie que le coût total de forage des 50 premiers mètres est de 10 161,29 euros.
4. 
a) 
Il s'agit de déterminer la n-ième dizaine de mètres que l'on peut forer avec la somme de 125 000 euros.
Pour cela, on doit déterminer la plus grande valeur entière n telle que S_n inférieur ou égal 125 000.
Soit n un nombre entier naturel.
S_n inférieur ou égal 125 000 \Leftrightarrow −250 000 + 250 000 × 1,008^n inférieur ou égal 125 000
S_n inférieur ou égal 125 000 \Leftrightarrow 250 000 × 1,008^n inférieur ou égal 125 000 + 250 000 = 375 000
S_n inférieur ou égal 125 000 \Leftrightarrow 1,008^n inférieur ou égal \frac{375~000}{250~000} = 1,5
S_n inférieur ou égal 125 000 \Leftrightarrow ln(1,008^n) inférieur ou égal ln(1,5) car les fonctions ln et exponentielle sont strictement croissantes sur leur intervalle de définition.
S_n inférieur ou égal 125 000 \Leftrightarrow nln(1,008) inférieur ou égal ln(1,5) car ln(a^n) = nln(a) pour tout n entier naturel et a réel strictement positif.
S_n inférieur ou égal 125 000 \Leftrightarrow n inférieur ou égal \frac{\ln(1,5)}{\ln(1,008)} car 1,008 > 1 donc ln(1,008) > ln(1) = 0.
\frac{\ln(1,5)}{\ln(1,008)} \approx 50,9 au dixième près donc la plus grande valeur entière n telle que n inférieur ou égal \frac{\ln(1,5)}{\ln(1,008)}, donc que S_ninférieur ou égal 125 000, est n = 50.
Avec le budget de 125 000 euros, on peut donc espérer forer 50 dizaines de mètres, c'est à dire 500 mètres.
Remarque : une autre méthode consiste à calculer des valeurs S_n (n entier naturel non nul) à l'aide d'un tableur et de déterminer la plus grande valeur entière n telle que S_n soit inférieure à 125 000.
b) 
L'algorithme qui permet de calculer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec le budget de 125 000 euros est :
Sujet national, juin 2015, exercice 2 - illustration 4
Remarque : pour k entier naturel non nul, si l'algorithme ne s'est pas arrêté, la k-ième boucle calcule S_{k+1} et i prend ensuite la valeur k + 1.
Pour connaître le nombre de mètres possible du forage, l'algorithme doit donc retourner « 10(k + 1) », c'est à dire « 10 × i ».