Sujet national, juin 2015, exercice 1

Énoncé

(6 points)
Le service marketing d'un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de 42 % de femmes. 35 % des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes.
Une personne entre dans le magasin. On note :
  • F l'événement : « La personne est une femme » ;
  • R l'événement : « La personne repart sans rien acheter ».
Pour tout événement A, on note \bar{A} son événement contraire et p(A) sa probabilité.
Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième. Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
Complétez l'arbre pondéré en utilisant les données de l'énoncé, ainsi que la formule donnant la probabilité de l'événement contraire.
2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu'elle reparte sans rien acheter.
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
3. Montrer que p(R) = 0,534.
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de R.
Partie B
Un client du magasin s'inquiète de la durée de vie du téléphone de type T1 qu'il vient de s'offrir.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobil de type T1 prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.
On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ = 48 et d'écart-type σ = 10.
1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type T1 prélevé fonctionne plus de 3 ans, c'est-à-dire 36 mois, est d'environ 0,885.
Calculez la probabilité recherchée en utilisant la calculatrice et la formule suivante : pour tout nombre réel x inférieur ou égal μ, p(X supérieur ou égal x) = p(x inférieur ou égal X inférieur ou égal μ) + 0,5.
2. On sait que le téléphone de type T1 prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne moins de 5 ans ?
Remarquez qu'il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle p_{\{\mathrm{X} \ge 36\}}(\mathrm{X} \le 60) dont le résultat est une valeur comprise entre 0,8 et 0,9.
Partie C
Le gérant du magasin émet l'hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur …).
Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.
1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1 500.
Si les hypothèses sont vérifiées, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % en fonction de n = 1 500 et de p = \frac{30}{100} = 0,3 est :
I = \left[ p - 1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right].
2. Le service marketing interroge un échantillon de 1 500 personnes. L'étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5 % l'hypothèse formulée par le gérant ?
La fraction \frac{430}{1~500} appartient-elle à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % trouvé à la question 1. ?

Corrigé

Partie A
1. 
D'après l'énoncé, on a :
p(F) = \frac{42}{100} = 0,42 ;
p_F(\bar{R}) = \frac{35}{100} = 0,35 ;
et p_{\bar{F}}(\bar{R}) = \frac{55}{100} = 0,55.
Pour compléter l'arbre pondéré :
p(\bar{F}) = 1 −p(F) = 1 − 0,42 = 0,58 ;
p_F(R) = 1 −p_F(\bar{R}) = 1 − 0,35 = 0,65 ;
p_{\bar{F}}(R) = 1 −p_{\bar{F}}(\bar{R}) = 1 − 0,55 = 0,45.
Sujet national, juin 2015, exercice 1 - illustration 1
2. 
Il s'agit de calculer la probabilité p(F\capR).
D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
p(F\capR) = p_F(R) × p(F) = 0,65 \times 0,42 = 0,273.
La probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu'elle reparte sans rien acheter est 0,273.
3. 
Les événements R\capF et R\cap \bar{F} forment une partition de l'événement R.
D'après la formule des probabilités totales, on a donc :
p(R) = p(R\capF) + p(R\cap \bar{F})
p(R) = 0,273 + p_{\bar{F}}(R)×p(\bar{F}) d'après la question 2.
p(R) = 0,273 + 0,45×0,58
p(R) = 0,273 + 0,261
p(R) = 0,534.
La probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin reparte sans rien acheter est 0,534.
Partie B
1. 
Il s'agit de calculer p(X supérieur ou égal 36).
Pour tout nombre réel x inférieur ou égal μ, p(X supérieur ou égal x) = p(x inférieur ou égal X inférieur ou égal μ) + p(X supérieur ou égal μ) = p(x inférieur ou égal X inférieur ou égal μ) + 0,5.
Pour x = 36, on a : p(X supérieur ou égal 36) = p(36 inférieur ou égal X inférieur ou égal 48) + 0,5.
On calcule p(36 inférieur ou égal X inférieur ou égal 48) \approx 0,385 (au millième près) à la calculatrice :
Avec une CASIO
Dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « Ncd », entrer :
  • Lower : 36 ;
  • Upper : 48 ;
  • σ : 10 ;
  • μ : 48 ;
  • puis calculer.
Avec une T.I.
Dans les menus « DISTR » (avec « 2nd » puis «VARS  »), puis « normalcdf( » (ou bien « normalFRép ( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(36,48,48,10) » (ou bien « normalFRép(36,48,48,10) »).
On a donc p(X supérieur ou égal 36) \approx 0,385 + 0,5 \approx 0,885 au millième près.
La probabilité que le téléphone de type T1 prelevé fonctionne plus de 3 ans est donc bien d'environ 0,885.
2. 
Il s'agit de calculer la probabilité p_{\{\mathrm{X} \ge 36\}}(\mathrm{X} \le 60).
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
p_{\{\mathrm{X} \ge 36\}}(\mathrm{X} \le 60) = \frac{p(\{\mathrm{X} \ge 36\} \cap \{\mathrm{X} \le 60\})}{p(\mathrm{X} \ge 36)} = \frac{p(36\le \mathrm{X} \le 60)}{p(\mathrm{X} \ge 36)}.
Par la méthode utilisée à la question 1., on trouve à la calculatrice :
p(36 inférieur ou égal X inférieur ou égal 60) \approx 0,770 au millième près.
D'après la question 1., p(X supérieur ou égal 36) \approx 0,885 au millième près, donc :
p_{\{\mathrm{X} \ge 36\}}(\mathrm{X} \le 60) \approx \frac{0,770}{0,885} \approx 0,870 au millième près.
Remarque : en utilisant une valeur arrondie plus précise du numérateur et du dénominateur de la fraction p_{\{\mathrm{X} \ge 36\}}(\mathrm{X} \le 60), on obtient aussi 0,870 comme valeur arrondie du résultat au millième près.
Partie C
1. 
On a n = 1 500 et p = \frac{30}{100} = 0,3 et on vérifie que 0 < p = 0,3 < 1, n = 1 500 supérieur ou égal 30, np = 1 500 × 0,3 = 450 supérieur ou égal 5 et n(1 − p) = 1 500 × 0,7 = 1 050 supérieur ou égal 5.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de 1 500 personnes est :
I1 500 = \left[ p - 1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]
I1 500 = \left[ 0,3 - 1,96\frac{\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt{1~500}} ; 0,3 +1,96\frac{\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt{1~500}}\right]
I1 500 \approx [0,276 ; 0,324] en arrondissant les bornes au millième près (par défaut pour la borne inférieure et par excès pour la borne supérieure).
2. 
\frac{430}{1~500}\approx 0,287 au millième près, donc \frac{430}{1~500}\in I1 500 \approx [0,276 ; 0,324] au millième près.
On ne doit donc pas rejeter au seuil de 5 % l'hypothèse formulée par le gérant.