Sujet national, juin 2014, exercice 3

Énoncé

(5 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [20\ ;\ 60].
1. 
Calculer la probabilité p pour que l'entrainement dure plus de 30 minutes.
Il s'agit de calculer p = P(X \geq 30) où la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [20\ ;\ 60].
2. 
Calculer l'espérance de X. Interpréter ce résultat.
Souvenez-vous que l'espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [a\ ;\ b] (a < b) est E(X) = \frac{a+b}{2}.
Partie B
Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.
Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix.
On note D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
On suppose que D suit la loi normale d'espérance 57 et d'écart-type 0,11.
1. 
Déterminer la probabilité p_1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.
Il s'agit de calculer P(D \leq 57) où la variable aléatoire D suit la loi normale de moyenne 57 et d'écart-type 0,11.
2. 
Déterminer la probabilité p_2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix.
Il s'agit de calculer P(56,75 \leq D \leq 57,25) à la calculatrice.
3. 
En déduire la probabilité p_3 que la boule prélevée soit une boule de second choix.
Notez bien que si une boule n'est pas de premier choix, elle est de second choix.
Partie C
Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14 000 licenciés quant à l'organisation des tournois.
Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.
1. 
Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de la FFB ?
Vous devez trouver une fréquence qui est comprise entre 0,8 et 0,9.
2. 
Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion p de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième.
Si f est la fréquence obtenue avec un échantillon de taille n (avec 0 < f < 1, n \geq 30, nf \geq 5 et n(1 - f) \geq 5), l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right].

Corrigé

Partie A
1. 
La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [20\ ;\ 60].
On a donc p = P(X \geq 30) = \frac{60-30}{60-20} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4} = 0,75.
La probabilité que l'entrainement dure plus de 30 minutes est 0,75.
2. L'espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [20\ ;\ 60] est E(X) = \frac{20+60}{2} = \frac{80}{2} = 40.
Lorsque le nombre de jours où Antoine s'entraîne au billard américain devient très grand, la durée moyenne de son entrainement journalier est 40 minutes.
Partie B
1. 
La variable aléatoire D suit la loi normale d'espérance 57 et d'écart-type 0,11, donc p_1 = P(D \leq 57) = \frac{1}{2} = 0,5.
La probabilité p_1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm est 0,5.
2. 
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « ncd », entrez :
  • Lower : 56.75 ;
  • Upper : 57.25 ;
  • \sigma\ : 0.11 ;
  • \mu\ : 57 ;
  • puis calculez.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis « normalcdf( » ou bien « normalFRép( », selon les modèles, complétez en « normalcdf(56.75,57.25,57,0.11) » ou bien « normalFRép(56.75,57.25,57,0.11) ».
On obtient p_2 = P(56,75 \leq D \leq 57,25)\approx 0,977 au millième près.
La probabilité p_2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix est environ 0,977.
3. 
En utilisant l'événement contraire, p_3 = 1 - P(56,75 \leq D \leq 57,25)
\approx 1 - 0,977 \approx 0,023 au millième près.
La probabilité p_3 que la boule prélevée soit une boule de second choix est environ 0,023.
Partie C
1. Sur cet échantillon, la fréquence observée de personnes satisfaites de la FFB est f = \frac{66}{80} = 0,825.
2. On a f = 0,825 et n = 80.
On vérifie que : 0 < f = 0,825 < 1, n = 80 \geq 30, nf = 80 \times 0,825 = 66 \geq 5 et n(1 - p) = 80 \times (1 - 0,825) = 80 \times 0,175 = 14 \geq 5.
L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de licenciés satisfaits de la FFB est :
\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0,825 - \frac{1}{\sqrt{80}}\ ;\ 0,825 + \frac{1}{\sqrt{80}}\right] \approx [0,713\ ;\ 0,937] au milième près.