Sujet national, juin 2014, exercice 2


Énoncé

(5 points)
À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de 1 500 m2 entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m2 et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel n, on note u_n la surface en m2 de terrain engazonné au bout de n années, c'est-à-dire à l'automne 2010 + n. On a donc u_0 = 1\,500.
1. 
Calculer u_1.
Pour répondre à la question, commencez par calculer l'aire de la surface engazonnée restante, puis rajoutez à celle-ci l'aire de la surface de mousse remplacée par du gazon.
2. 
Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1} = 0,8u_n + 50.
Généralisez le raisonnement de la question 1.
3. 
On considère la suite (v_n) définie pour tout nombre entier naturel n par :
v_n = u_n - 250.
a) 
Démontrer que la suite (v_n) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
Montrez que pour tout entier naturel n, v_{n+1} peut s'écrire sous la forme :
v_{n+1} = 0,8 \times v_n.
b) 
Exprimer v_n en fonction de n.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, u_n = 250 + 1\ 250\times 0,8^n.
Il s'agit de trouver le terme général de cette suite géométrique.
Exprimez ensuite, pour tout entier naturel n, u_n en fonction v_n pour déterminer son expression.
c) 
Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
Il s'agit de calculer u_4 : pensez à utiliser la formule de la question b).
4. 
a) 
Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que :
250 + 1~250\times 0,8^n < 500. Interpréter le résultat obtenu.
Pensez à raisonner par équivalence et à utiliser la fonction logarithme népérien.
b) 
Compléter l'algorithme qui suit pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.
Initialisation
u prend la valeur 1\ 500
n prend la valeur 0
Traitement
Tant que… faire
u prend la valeur…
n prend la valeur…
Fin Tant que
Sortie
Afficher n
Utilisez le résultat obtenu à la question 2.
5. 
Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
Pour pouvoir répondre, montrez que la suite (u_n) est décroissante et calculez sa limite.

Annexes

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