Sujet national, juin 2014, exercice 2

Énoncé

(5 points)
À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de 1 500 m2 entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m2 et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel n, on note u_n la surface en m2 de terrain engazonné au bout de n années, c'est-à-dire à l'automne 2010 + n. On a donc u_0 = 1\,500.
1. 
Calculer u_1.
Pour répondre à la question, commencez par calculer l'aire de la surface engazonnée restante, puis rajoutez à celle-ci l'aire de la surface de mousse remplacée par du gazon.
2. 
Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1} = 0,8u_n + 50.
Généralisez le raisonnement de la question 1.
3. 
On considère la suite (v_n) définie pour tout nombre entier naturel n par :
v_n = u_n - 250.
a) 
Démontrer que la suite (v_n) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
Montrez que pour tout entier naturel n, v_{n+1} peut s'écrire sous la forme :
v_{n+1} = 0,8 \times v_n.
b) 
Exprimer v_n en fonction de n.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, u_n = 250 + 1\ 250\times 0,8^n.
Il s'agit de trouver le terme général de cette suite géométrique.
Exprimez ensuite, pour tout entier naturel n, u_n en fonction v_n pour déterminer son expression.
c) 
Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
Il s'agit de calculer u_4 : pensez à utiliser la formule de la question b).
4. 
a) 
Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel n telle que :
250 + 1~250\times 0,8^n < 500. Interpréter le résultat obtenu.
Pensez à raisonner par équivalence et à utiliser la fonction logarithme népérien.
b) 
Compléter l'algorithme qui suit pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.
Initialisation
u prend la valeur 1\ 500
n prend la valeur 0
Traitement
Tant que… faire
u prend la valeur…
n prend la valeur…
Fin Tant que
Sortie
Afficher n
Utilisez le résultat obtenu à la question 2.
5. 
Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
Pour pouvoir répondre, montrez que la suite (u_n) est décroissante et calculez sa limite.

Corrigé

1. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 20 % est : 1 - \frac{20}{100} = 0,8.
Peu avant l'automne 2011, il reste 0,8 \times 1\ 500 = 1 200 m2 de gazon qui n'ont pas été remplacés par de la mousse.
À l'automne 2011, Claude remplace 50 m2 de mousse par du gazon.
L'aire de la surface engazonnée à cette date est donc u_1 = 1\ 200 + 50 = 1\ 250 m2.
2. Soit n un entier naturel. L'aire de la surface engazonnée à l'automne de l'année 2010 + n est u_n. Peu avant l'automne de l'année 2010 + (n + 1), 20 % de cette surface est remplacée par de la mousse : l'aire de la surface engazonnée restante est 0,8 \times u_n. À l'automne 2010 + (n + 1), Claude remplace 50 m2 de mousse par du gazon. L'aire de la surface engazonnée à cette date est donc u_{n+1} = 0,8 \times u_n + 50, pour tout entier naturel n.
3. 
a) 
Pour tout entier naturel n, v_{n+1} = u_{n+1} - 250, puis :
v_{n+1} = 0,8 \times u_n + 50 - 250 par définition de u_{n+1} ;
v_{n+1} = 0,8 \times u_n - 200 ;
v_{n+1} = 0,8 \times u_n - 0,8 \times 250 car 200 = 0,8 \times 250 ;
v_{n+1} = 0,8 \times (u_n - 250) en factorisant l'expression par 0,8 ;
v_{n+1} = 0,8 \times v_n par définition de v_n.
La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison q = 0,8 et de premier terme v_0 = u_0 - 250 = 1\ 500 - 250 = 1\ 250.
b) 
D'après la formule donnant le terme général d'une suite géométrique en fonction de son premier terme v_0 = 1\ 250 et de sa raison q = 0,8, on a :
v_n = v_0 \times q^n = 1\ 250 \times 0,8^n pour tout nombre entier naturel n.
Pour tout nombre entier naturel n, on a u_n = v_n + 250 = 250 + 1\ 250 \times 0,8^n.
c) L'aire de la surface de terrain engazonné au bout de 4 années, c'est-à-dire à l'automne 2014, est u_4 = 250 + 1\ 250 \times 0,8^4 = 762 m2.
4. 
a) Soit n un entier naturel :
250 + 1\ 250 \times 0,8^n < 500 \Leftrightarrow 1\ 250 \times 0,8^n < 500 - 250 = 250 ;
250 + 1\ 250 \times 0,8^n < 500 \Leftrightarrow 0,8^n < \frac{250}{1~250} = \frac{1}{5} = 0,2 ;
250 + 1\ 250 \times 0,8^n < 500 \Leftrightarrow \ln(0,8^n) < \ln(0,2) car la fonction ln est strictement croissante sur ]0\ ;\ +\infty[ ;
250 + 1\ 250 \times 0,8^n < 500 \Leftrightarrow n\ln(0,8) < \ln(0,2) car \ln(a^n) = n \ln a pour tout a\in ]0\ ;\ +\infty[ et n\in{\mathbb{N}} ;
250 + 1\ 250 \times 0,8^n < 500 \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} car \ln(0,8) < \ln(1) = 0 ;
\frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \approx 7,2 au dixième près.
La plus petite valeur n telle que 250 + 1\ 250 \times 0,8^n = u_n < 500 est donc 8. Pour tout entier naturel n, u_n étant l'aire de la surface (en m2) de terrain engazonné à l'automne 2010 + n, cette aire est strictement inférieur à 500 m2 à partir de l'automne 2018.
b) Initialisation
u prend la valeur 1\ 500
n prend la valeur 0
Traitement
Tant que u > 500 faire
u prend la valeur 0,8 \times u + 50
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Sortie
Afficher n
5. 
Montrons que la suite (u_n) est décroissante et qu'elle a pour limite 250.
On pourra en conclure que u_n > 250 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n :
u_{n+1} - u_n = 250 + 1\ 250 \times 0,8^{n+1} - (250 + 1\ 250 \times 0,8^n)
u_{n+1} - u_n = 250 + 1\ 250 \times 0,8^{n+1} - 250 - 1\ 250 \times 0,8^n
u_{n+1} - u_n = 1\ 250 \times 0,8^{n+1} - 1\ 250 \times 0,8^n
u_{n+1} - u_n = 1\ 250 \times 0,8^n (0,8 - 1)
u_{n+1} - u_n = 1\ 250 \times (-0,2) \times 0,8^n
u_{n+1} - u_n = -250 \times 0,8^n < 0.
La suite (u_n) est donc strictement décroissante.
Pour tout entier naturel n, u_n = 250 + 1\ 250 \times 0,8^n.
0 < 0,8 < 1 donc \lim_{n \to +\infty} 0,8^n = 0, puis \lim_{n \to +\infty} 1\ 250 \times 0,8^n = 0.
On a donc \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (250 + 1\ 250 \times 0,8^n) = 250 d'après les règles opératoires sur les limites.
Finalement, l'aire de la surface de terrain engazonné est toujours supérieure à 250 m2, donc Claude a raison : les mauvaises herbes ne pourront pas envahir la totalité de son terrain.