Sujet national, juin 2014, exercice 1

Énoncé

(5 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
1. 
L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où A et B sont deux événements, dont les événements contraires sont respectivement notés \bar{A} et \bar{B}.
Sujet national, juin 2014, exercice 1 - illustration 1
Alors :
a) P_{A}(B) = 0,18.
b) P(A\cap B) = 0,9.
c) P_{A}(\bar{B}) = 0,7.
d) P(B) = 0,5.
Remarquez facilement qu'une des propositions convient.
2. 
Avec le même arbre, la probabilité de l'événement B est égale à :
a) 0,5.
b) 0,18.
c) 0,26.
d) 0,38.
Utilisez la formule des probabilités totales.
3. 
On considère une fonction f définie et continue sur l'intervalle [1\ ;\ 15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous.
Sujet national, juin 2014, exercice 1 - illustration 2
Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle [1\ ;\ 15]. On peut être certain que :
a) la fonction F est négative sur l'intervalle [3\ ;\ 4].
b) la fonction F est positive sur l'intervalle [4\ ;\ 12].
c) la fonction F est décroissante sur l'intervalle [4\ ;\ 12].
d) la fonction F est décroissante sur l'intervalle [1\ ;\ 3].
F étant une primitive de la fonction f sur l'intervalle [1\ ;\ 15], pour tout intervalle I\subset[1\ ;\ 15], on a  :
  • F est croissante sur I \Leftrightarrow f positive sur I ;
  • F est décroissante sur I \Leftrightarrow f négative sur I.
4. 
Pour tout réel x de l'intervalle ]0\ ;\ +\infty[, l'équation \ln x + \ln(x + 3) = 3\ln 2 est équivalente à l'équation :
a) 2x + 3 = 6.
b) 2x + 3 = 8.
c) x^2 + 3x = 6.
d) x^2 + 3x = 8.
Souvenez-vous que :
  • pour tous les réels strictement positifs a et b, et pour tous les entiers naturels n, \ln(a) + \ln(b) = \ln(ab) et n\ln(a) = ln(a^n) ;
  • pour tous les réels strictement positifs a et b, \ln(a) = ln(b) est équivalent à a = b.
5. 
g est la fonction définie sur l'intervalle ]0\ ;\ +\infty[ par g(x) = \frac{5}{x}.
On note \mathcal{C} sa courbe représentative.
L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x = 2 et x = 6, est égale à :
a) 5(\ln 6 - \ln 2).
b) \frac{1}{6-2} \int_2^6 g(x) \mathrm{d}x.
c) 5 \ln 6 + 5 \ln 2.
d) g(6) - g(2).
Il s'agit de calculer la valeur de \int_2^6 g(x) \mathrm{d}x.

Corrigé

1. 
c) P_{A}(\bar{B}) = 0,7.
En lisant le résultat sur l'arbre pondéré : P_{A}(B) = 0,3.
En utilisant la formule de l'événement complémentaire :
P_{A}(\bar{B}) = 1 - P_{A}(B) = 1 - 0,3 = 0,7.
2. 
c) Avec le même arbre, la probabilité de l'événement B est égale à : 0,26.
En utilisant la formule des probabilités conditionnelles :
P(A\cap B) = P_{A}(B) \times P(A) = 0,3 \times 0,6 = 0,18.
En utilisant la formule des probabilités totales :
P(B) = P(A\cap B) + P(\bar{A} \cap B) car A\cap B et \bar{A} \cap B forment une partition de B.
P(B) = P_{A}(B)\times P(A) + P_{\bar{A}}(B)\times P(\bar{A})
P(B) = 0,18 + 0,2 \times (1 - 0,6) car P(\bar{A}) = 1 - P(A).
P(B) = 0,18 + 0,2 \times 0,4
P(B) = 0,18 + 0,08
P(B) = 0,26.
3. 
c) Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle [1\ ;\ 15]. On peut être certain que la fonction F est décroissante sur l'intervalle [4\ ;\ 12].
Sans indications supplémentaires, on ne peut pas connaître le signe de la fonction F sur l'intervalle [1\ ;\ 15], on ne peut connaître que ses variations.
Sur l'intervalle [1\ ;\ 3], la fonction f est positive donc la fonction F est croissante.
Sur l'intervalle [4\ ;\ 12], la fonction f est négative donc la fonction F est décroissante.
4. 
d) Pour tout réel x de l'intervalle ]0\ ;\ +\infty[, l'équation \ln x + \ln(x+ 3) = 3\ln 2 est équivalente à l'équation :
x^2 + 3x = 8.
Pour tout x \in ]0\ ;\ +\infty[ :
\ln x et \ln(x + 3) sont définis et :
\ln x + \ln(x + 3) = 3\ln 2 \Leftrightarrow \ln[x(x + 3)] = \ln(2^3) car pour tous les réels strictement positifs a et b, et pour tous les entiers naturels n :
\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab) et n\ln(a) = \ln(a^n) ;
\ln x + \ln(x + 3) = 3\ln 2 \Leftrightarrow x(x + 3) = 2^3 car pour tous les réels strictement positifs a et b :
\ln(a) = \ln(b) est équivalent à a = b.
\ln x + \ln(x + 3) = 3\ln2 \Leftrightarrow x^2 + 3x = 8.
5. 
L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x = 2 et x = 6, est égale à :
a) 5(\ln 6 - \ln 2).
L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x = 2 et x = 6, est :
\int_2^6 \ frac{5}{x} \mathrm{d}x = [5\ln x]_2^6 = 5\ln 6 - 5\ln 2 = 5(\ln 6 - \ln 2).