Sujet national, juin 2013, exercice 4

Énoncé

(5 points)
Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos…).
On note D_n la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 1995+ n.
année
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
n
0
1
2
3
4
5
6
7
D_n
4,95
5,15
5,25
5,4
5,7
6,3
6,55
6,9

année
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
n
8
9
10
11
12
13
14
15
D_n
7,3
7,75
7,65
7,79
7,64
7,82
7,89
8,08

Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x, par f(x)=-0,0032x^{3}+0,06x^{2}+5.
Pour tout entier n vérifiant 0 \leq n\leq 20, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année n par le nombre f(n).
1. Calculez f(5).
Vous devez trouver pour f(5) une valeur qui est comprise entre 5 et 8.
2. Déterminez le pourcentage p, de l'erreur commise en remplaçant D_5 par f(5).
Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul p=\frac{\text{valeur réelle-valeur estimée}}{\text{valeur réelle}} et le résultat sera donné à 0,1 % près.)
Vous devez trouver pour p un pourcentage proche de 3  %.
3. En utilisant la fonction f, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? Vous arrondirez le résultat au centième de milliard d'euros.
À quelle valeur de n correspond l'année 2013 ?
4. 
On veut utiliser la fonction f pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.
On calcule pour cela M=\frac{1}{20}\int^{20}_{0}f(x)\textrm{d}x.
a) Déterminez une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [0\ ; \ 20].
Pour déterminer une primitive de la fonction f, déterminez une primitive de chacun de ses monômes.
b) Calculez M.
Souvenez-vous que si F est une primitive de f sur l'intervalle [0\ ;\ 20],
\int_0^{20} f(x)\textrm{d}x\,=\,f(20)\,-\,f(0).

Corrigé

1. Pour x \in [0\ ;\ 20],
f(x) = -0,0032x ^{3} + 0,06x ^{2} + 5.
Donc pour x= 5 :
f(5) = -0,0032 \times{} 5^{3} + 0,06 \times{} 5^{2} + 5 = 6,1.
En utilisant la fonction f, la dépense totale des ménages français en programmes audiovisuels en 2000 est estimée à 6,1 milliards d'euros.
2. On a p= \frac{D_5-f(5)}{D_5}= \frac{6,3-6,1}{6,3} \approx 0,032 à 0,001 près, soit 3,2 % à 0,1 % près.
Le pourcentage d'erreur en remplaçant D_5 par f(5) est de 3,2 % à 0,1 % près.
3. Pour l'année 2013, on a n= 18, donc on doit calculer f(18) :
f(18) = -0,0032 \times{} 18^{3} + 0,06 \times{} 18^{2} + 5\approx 5,78 au centième près.
En 2013, une estimation de la dépense totale des ménages français en programmes audiovisuels est de 5,78 milliards d'euros, au centième de milliards d'euros près.
4. 
a) La fonction f est continue sur l'intervalle [0\ ;\ 20], donc elle admet des primitives sur cet intervalle. Une primitive de la fonction f définie par f(x) = -0,0032x ^{3} + 0,06x ^{2} + 5 sur l'intervalle [0\ ;\ 20] est la fonction F définie, pour tout x \in [0\ ;\ 20], par :
F(x) = -0,0032\frac{x^4}{4}+ 0,06\frac{x^3}{3}+ 5x = -0,0008x ^{4} + 0,02x ^{3} + 5x.
b) La fonction F définie sur l'intervalle [0\ ;\ 20] par F(x) = -0,0008x ^{4} + 0,02x ^{3} + 5x étant une primitive de f sur cet intervalle, on a :
M=\frac{1}{20} \int_0^{20} f(x)\textrm{d}x= \frac{1}{20}[F(x)]_0^{20}
M=\frac{F(20)-F(0)}{20}
M=\frac{-0,0008\times 20^4+0,02\times 20^3+5\times 20}{20} -\frac{-0,0008\times 0^4+0,02\times 0^3+5\times 0}{20}
M= \frac{-128+160+100-0}{20}
M=\frac{132}{20}
M= 6,6.
La dépense moyenne des ménages français en programmes audiovisuels entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015 est de 6,6 milliards d'euros.