Sujet national, juin 2013, exercice 3

Énoncé

(5 points)
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.
L'entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine, x varie donc dans l'intervalle [0\ ;\ 3,6].
Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d'euros.
L'objet de cet exercice est d'étudier cette fonction B.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Partie A : Étude graphique
On a représenté la fonction B dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant le cas.
Vous laisserez les traits utiles à la compréhension du raisonnement sur le graphique et vous rendrez une réponse écrite sur la copie pour chaque question posée.
1. Déterminez dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros.
Remarquez qu'il s'agit de résoudre graphiquement l'inéquation B(x)\geq 13.
2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise ?
Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ?
Vous devez chercher la valeur maximale de la fonction B, ainsi que son antécédent par B.
Sujet national, juin 2013, exercice 3 - illustration 1
Partie B : Étude théorique
Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d'euros vaut :
B(x)=-5+(4-x)\mathrm{e}^{x}.
1. 
a) On note B' la fonction dérivée de la fonction B.
Montrez que pour tout réel x de l'intervalle I=[0\ ;\ 3,6], on a : B'(x)=(3-x)\mathrm{e}^{x}.
Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I,
(uv)'\,=\,uv'\,+\,u'v sur l'intervalle I.
b) Déterminez le signe de la fonction dérivée B' sur l'intervalle I.
Commencez par expliquer pourquoi B'(x) est du signe de 3 -x sur l'intervalle I.
c) Dressez le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle I. Vous indiquerez les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle.
Pensez à calculer B(0), B(3) et B(3,6).
2. 
a) Justifiez que l'équation B(x)=13 admet deux solutions x_1 et x_2, l'une dans l'intervalle [0\ ;\ 3] l'autre dans l'intervalle [3\ ;\ 3,6].
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans l'intervalle [0\ ;\ 3], puis dans l'intervalle [3\ ;\ 3,6].
b) À l'aide de la calculatrice, déterminez une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions.
Vous devez trouver pour x_1 une valeur qui est proche de 2,5 et pour x_2 une valeur qui est proche de 3,5.

Corrigé

Partie A : Étude graphique
1. Il s'agit de résoudre graphiquement l'inéquation B(x)\geq13.
Graphiquement, les antécédents de 13 par B sont 2,50,1 près) et 3,40,1 près) et l'intervalle recherché est [2,5\ ;\ 3,4]0,1 près). Pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros, le nombre de poulies doit être compris entre 2 500 et 3 400 (à cent poulies près). Voir la figure de la question 2.
Sujet national, juin 2013, exercice 3 - illustration 2
2. 
Graphiquement, le maximum de B est environ 15,10,1 près). Donc le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise est de 15 100 € (à cent euros près). Ce maximum est atteint en x\approx 30,1 près) donc le bénéfice maximum envisageable l'est pour N=3\ 000 poulies fabriquées et vendues, à cent poulies près.
Partie B : Étude théorique
1. 
a) La fonction B est dérivable sur l'intervalle I en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x)=4-x et v(x)=\mathrm{e}^ x pour x\in I, on a u'(x) = -1 et v'(x)=\mathrm{e}^x, et pour tout x\in I, on a B'(x)=(u\times{} v)'(x), car la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.
Ainsi, pour tout x\in I,
B'(x)=u'(x)\times{}v(x)+u(x)\times{}v'(x)
B'(x) = (-1)\times{}\mathrm{e}^x+(4-x)\mathrm{e}^x
B'(x) = (-1 + 4 - x)\mathrm{e}^x
B'(x) = (3-x)\mathrm{e}^x.
Pour tout x\in[0\ ;\ 3,6], B'(x) = (3-x)\mathrm{e}^x.
b) Pour tout x\in[0\ ;\ 3,6], B'(x) = (3 - x)\mathrm{e}^ x , donc B'(x)) est du signe de 3 - x sur cet intervalle car l'exponentielle est toujours positive.
On a donc :
B'(x) > 0 et x\in I \Leftrightarrow 3 -x > 0 et x\in I\Leftrightarrow x < 3 et x\in I \Leftrightarrow 0 \leq x < 3 ;
B'(x) < 0 et x\in I \Leftrightarrow 3 -x < 0 et x\in I\Leftrightarrow x > 3 et x\in I \Leftrightarrow 3 < x\leq 3,6 ;
B'(x) = 0 et x\in I\Leftrightarrow x= 3.
La fonction B est strictement croissante sur l'intervalle [0\ ;\ 3] et strictement décroissante sur l'intervalle [3\ ;\ 3,6]
Remarque : le maximum de la fonction B est bien atteint en x=3 (question 2., partie A).
c) 
Pour compléter le tableau de variation, on calcule :
B(0) = -5 + (4 - 0)\mathrm{e}^0= -5 + 4 = -1;
B(3) = -5 + (4 - 3)\mathrm{e}^{3} = -5 + \mathrm{e}^{3} \approx 15,10,1 près) ;
B(3,6) = -5 + (4 - 3,6)\mathrm{e}^{3,6} = -5 + 0,4\mathrm{e}^{3,6} \approx 9,60,1 près).
On obtient le tableau de variation suivant pour la fonction B :
Sujet national, juin 2013, exercice 3 - illustration 3
2. 
a)  B est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0\ ;\ 3].
De plus, B(0) = -1 < 13 et B(3) \approx 15,10,1 près), donc B(3) > 13.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation B(x) = 13 admet une unique solution x_1 sur l'intervalle [0\ ;\ 3] (et x_1 \neq 3 car B(3) \neq 13).
De même, B est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [3\ ;\ 3,6], B(3) > 13 et B(3,6) \approx 9,60,1 près), donc B(3,6) < 13.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation B(x) = 13 admet une unique solution x_2 sur l'intervalle [3\ ;\ 3,6] (et x_2 \neq 3 car B(3) \neq 13).
Finalement, l'équation B(x) = 13 admet deux solutions (distinctes) x_1 et x_2, l'une dans l'intervalle [0\ ;\ 3] et l'autre dans l'intervalle [3\ ;\ 3,6].
b) À l'aide d'un tableau de valeurs :
  • B(2) \approx 9,8 et B(3) \approx 15,1 à 0,1 près donc 2 < x_1 < 3 ;
  • B(2,4) \approx 12,6 et B(2,5) \approx 13,3 à 0,1 près donc 2,4 < x_1 < 2,5 ;
  • B(2,45) \approx 12,96 et B(2,46) \approx 13,03 à 0,01 près donc 2,45 < x_1 < 2,46.
Une valeur approchée de x_1 à 0,01 près est donc x_1 \approx 2,45.
De même :
  • B(3,3) \approx 13,98 et B(3,4) \approx 12,98 à 0,01 près donc 3,3 < x_2 < 3,4 ;
  • B(3,39) \approx 13,10 et B(3,40) \approx 12,98 à 0,01 près donc 3,39 < x_2 < 3,40.
Une valeur approchée de x_2 à 0,01 près est donc x_2 \approx 3,40.