Sujet national, juin 2013, exercice 2

Énoncé

(4 points)
Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.
1. Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d'un capital de 2 500 euros.
À partir du 1er septembre 2013, il place son capital c_0 = 2\ 500 sur un compte rapportant 0,2 % d'intérêts composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.
On note c_n le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra :
c_1 = 1,002c_0- 425 = 2\ 080 euros.
L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juin 2014.
On admet que la suite des capitaux (c_n) est décrite par les relations :
c_0 = 2 500 ;
pour tout entier naturel n :
c_{n+1} = 1,002 \times c_{n} - 425.
Proposition : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du début du mois de mars 2014.
Calculez les valeurs c_1, c_2, c_3 … pour observer le mois où l'étudiant sera à découvert.
2. Sur I = ]0\ ;\ +\infty[, on définit la fonction f par f(x) = 2x + 1-\ln x.
Proposition : f est une fonction convexe sur I.
Souvenez-vous du lien entre la convexité d'une fonction deux fois dérivable sur un intervalle et le signe de sa dérivée seconde sur cet intervalle.
3. 
On définit, sur l'intervalle I= ]0\ ;\ +\infty[, F(x) = 2x\ln x - 2x + 5.
On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :
Sujet national, juin 2013, exercice 2 - illustration 1
Proposition : F est une primitive de la fonction f définie sur I par f(x)=2\ln x.
Souvenez-vous que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle I, si F'(x) =f(x) pour tout x\in{I}.
4. X est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance \mu = 0 et d'écart type \sigma = 0,6.
Proposition : P(-0,6\leq{} X\leq{} 0,6) \approx 0,68.
Remarquez que, dans cet exercice, \mu - \sigma = -0,6 et \mu + \sigma = 0,6.

Corrigé

1. Au 1er septembre 2013, il dispose de :
c_0 = 2\ 500 €.
En utilisant la relation de récurrence c_{n+1} = 1,002 \times{} c_n - 425, pour tout entier naturel n, on peut calculer les termes suivants.
Au 1er octobre 2013, il disposera de :
c_1 = 1,002 c_0 - 425 = 1,002 \times{} 2\ 500 - 425 = 2\ 080 €.
Au 1er novembre 2013, il disposera de :
c_2 = 1,002 c_1 - 425 = 1,002 \times{} 2\ 080 - 425 = 1\ 659,16 €.
Au 1er décembre 2013, il disposera de :
c_3 = 1,002 c_2 - 425 = 1,002 \times{} 1\ 659,16 - 425 = 1\ 237,48 € (arrondi au centime d'euro).
Au 1er janvier 2014, il disposera de :
c_4 = 1,002 c_3 - 425 = 1,002 \times{} 1\ 237,48 - 425 = 814,95 € (arrondi au centime d'euro).
Au 1er février 2014, il disposera de :
c_5 = 1,002 c_4 - 425 = 1,002 \times{} 814,95 - 425 = 391,58 € (arrondi au centime d'euro).
Au 1er mars 2014, il disposera de :
c_6 = 1,002 c_5 - 425 = 1,002 \times{} 391,58 - 425 = -32,64 € (arrondi au centime d'euro).
Sans apport supplémentaire, l'étudiant sera donc à découvert à partir du début du mois de mars 2014.
La proposition est vraie.
2. Une fonction deux fois dérivable est convexe sur l'intervalle I si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
La fonction f est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x \in I, on a f'(x) = 2 - \frac{1}{x}.
La fonction f' est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x \in I, on a f'(x) =\frac{1}{x^2} > 0.
La fonction f est donc une fonction convexe sur I.
La proposition est vraie.
3. La fonction F est dérivable sur I en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
D'après le calcul du logiciel de calcul formel, pour tout x \in I, F'(x) = \ln x^2, ou encore F'(x) = 2 \ln x = f(x).
F est donc une primitive de la fonction f définie sur I par f(x) = 2 \ln x.
La proposition est vraie.
4.  X est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance \mu = 0 et d'écart type \sigma = 0,6.
On a donc \mu \sigma = -0,6 et \mu + \sigma = 0,6, puis :
P(-0,6 \leq{} X \leq{} 0,6) =P(\mu - \sigma \leq{} X \leq{}\mu + \sigma).
D'après le cours,
P(\mu - \sigma\leq{} X \leq{}\mu + \sigma) \approx 0,68 à 0,01 près,
donc P(-0,6 \leq{} X \leq{} 0,6) \approx 0,68 à 0,01 près.
La proposition est vraie.