Sujet national, juin 2013, exercice 1

Énoncé

(6 points)
Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.
La production journalière de l'unité A est de 600 pièces, celle de l'unité B est de 900 pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d'une journée.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à 0,014.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à 0,024.
On note :
  • D l'événement : « le composant présente un défaut de soudure » ;
  • A l'événement : « le composant est produit par l'unité A » ;
  • B l'événement: « le composant est produit par l'unité B ».
On note p(D) la probabilité de l'événement D et p_{A}(D) la probabilité de l'événement D sachant que l'événement A est réalisé.
Partie A : Généralités

1. 
a) D'après les données de l'énoncé, précisez p_{A}(D) et p_{B}(D).
b) Calculez p(A) et p(B).
Par exemple, p(A) se calcule en divisant le nombre de composants électriques fabriqués chaque jour par l'unité A, par le nombre total de composants fabriqués chaque jour par les deux unités.
2. Recopiez et complétez l'arbre de probabilités ci-dessous.
Sujet national, juin 2013, exercice 1 - illustration 1
Pour compléter, utilisez la formule :
pour tout événement A, p(\bar{A}) = 1 - p(A).
3. 
a) Calculez p(A\cap{D}) et p(B\ \cap\ D).
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
b) Vous devez en déduire p(D).
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de D.
4. 
On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'unité A ?
Remarquez qu'il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle p_A(D).
Partie B : Contrôle de qualité
On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms.
On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne \mu =200,5 et d'écart type \sigma =3,5.
On prélève un composant dans la production.
Les résultats seront arrondis à 0,0001 près, ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en fin de sujet.
1. Calculez la probabilité p_1 de l'événement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ».
Pensez à utiliser l'événement contraire et l'extrait de la table de cette loi normale.
2. Calculez la probabilité p_2 de l'événement : « La résistance du composant est comprise dans l'intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé ».
Utilisez la calculatrice ou la table de cette loi normale pour calculer :
p(195\leq{}R\leq{}205).
3. On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l'un de l'autre et que la probabilité qu'un composant soit accepté est égale à 0,84.
Déterminez la probabilité p qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.
Remarquez qu'il s'agit de calculer p à l'aide d'une formule, en reconnaissant une loi binomiale.
Extrait de la table de la loi normale pour \mu=200,5 et \theta=3,5
t
p(X\ \leqslant\ t)
t
p(X\ \leqslant\ t)
t
p(X\ \leqslant\ t)
186
0,0000
196
0,0993
206
0,9420
187
0,0001
197
0,1587
207
0,9684
188
0,0002
198
0,2375
208
0,9839
189
0,0005
199
0,3341
209
0,9924
190
0,0013
200
0,4432
210
0,9967
191
0,0033
201
0,5568
211
0,9987
192
0,0076
202
0,6659
212
0,9995
193
0,0161
203
0,7625
213
0,9998
194
0,0316
204
0,8413
214
0,9999
195
0,0580
205
0,9007
215
1,0000

Corrigé

Partie A : Généralités
1. 
a) D'après l'énoncé, on a : p_A(D)=0,0014 et p_B(D)=0,024.
b) D'après l'énoncé, on a :
p(A) = \frac{600}{600+900}= \frac{600}{1~500}= \frac{6}{15}= \frac{2}{5}= 0,4 ;
p(B) = \frac{900}{600+900}= \frac{900}{1~500}= \frac{9}{15}= \frac{3}{5}= 0,6.
2. 
D'après l'énoncé et les questions précédentes, on a :
p(A) = 0,4 ; p(B) = 0,6 ; p_A (D) = 0,014 ; p_B (D) = 0,024.
Pour compléter l'arbre de probabilités :
p_A(\bar{D})= 1 - p_A(D) = 1 - 0,014 = 0,986;
p_B(\bar{D})= 1 - p_B(D) = 1 - 0,024 = 0,976.
Sujet national, juin 2013, exercice 1 - illustration 2
3. 
a) D'après la formule des probabilités conditionnelles et la question 1 a) :
p(A\cap D) = p_A(D)\times p(A)
p(A\cap D) = 0,014 \times{} 0,4 = 0,0056 ;
p(B\cap D) = p_B(D)\times{}p(B)
p(B\cap D)= 0,024\times{}0,6 = 0,0144.
b) Les événements A\cap D et B\cap D forment une partition de l'événement D.
D'après la formule des probabilités totales :
p(D) = p(A\cap\ D) + p(B \cap\ D)
p(D) = 0,0056 + 0,0144 = 0,02.
4. Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle p_D(A).
D'après la formule des probabilités conditionnelles et les questions 3. a) et 3. b) :
p_D(A)= \frac{p(A \cap D)}{p(D)}= \frac{0,0056}{0,02}= 0,28.
Si on prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure, la probabilité qu'il provienne de l'unité A est p_D(A)=0,28.
Partie B : Contrôle de qualité
1. Il s'agit de calculer p_1= p(R \geq{}211).
p 1 = p(R\geq{}\ 211) = 1 - p(R\ \leq\ 211)
car p(R < 211) = p(R\leq\ 211).
D'après l'extrait de la table de la loi normale de moyenne \mu= 200,5 et d'écart type \sigma= 3,5:
p_1\approx\ 1 - 0,9987\approx 0,0013 à 0,0001 près.
La probabilité que la résistance du composant soit supérieure à 211 ohms est 0,0013 à 0,0001 près.
2. Il s'agit de calculer p_2 = p(195\leq\ R\ \leq 205). On a :
p_2 = p(195\leq\ R\ \leq\ 205)
p_2 = p(R\ \leq\ 205) - p(R\ \leq\ 195)
p_2\approx 0,9007 - 0,0580 \approx 0,8427 à 0,0001 près, d'après l'extrait de la table de cette loi normale. On peut aussi calculer cette valeur à la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « ncd », entrer :
  • Lower : 195 ;
  • Upper : 205 ;
  • \sigma  : 3.5 ;
  • \mu  : 200.5 ;
  • puis calculer.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd  » puis « VARS »), puis « normalcdf( » (ou bien « normalFRép( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(195,205,200.5,3.5) » (ou bien « normalFRép(195,205,200.5,3.5) »).
La probabilité que la résistance du composant soit comprise dans l'intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé est 0,8427 à 0,0001 près.
3 On effectue au hasard un prélèvement dans la production de trois composants, où chaque prélèvement est indépendant des autres et où il y a deux possibilités pour le composant prélevé (accepté avec la probabilité de 0,84 ou non).
Il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire X qui donne le nombre de composants acceptés suit une loi binomiale B(3\ ;\ 0,84).
La probabilité cherchée est p= p(X= 2).
Or pour tout entier k tel que 0\leq k\leq 3,
p(X=k) = (_k^3)\times 0,84^k \times (1-0,84)^{3-k}.
Donc p(X= 2) = (_2^3)\times 0,84^2 \times{}0,16
p(X= 2) = 3 \times{} 0,84^2 \times{}0,16
p(X= 2) = 0,338688 \approx 0,3387 à 0,0001 près.
La probabilité qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est 0,3387 à 0,0001 près.