Liban, mai 2013, exercice 4

Énoncé

(5 points)
Un propriétaire d'une salle louant des terrains de squash s'interroge sur le taux d'occupation de ses terrains. Sachant que la location d'un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses.
Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s'apercevoir que 
  • lorsque l'heure est creuse, 20 % des terrains sont occupés ;
  • lorsque l'heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés.
On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les événements :
  • C : « l'heure est creuse » ;
  • T : « le terrain est occupé ».
1. Représentez cette situation par un arbre de probabilités.
Complétez l'arbre pondéré en utilisant la formule :
pour tout événement A, P(\bar{A}) = 1 - P(A).
2. Déterminez la probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse.
Il s'agit de calculer la probabilité d'une intersection d'événements : pensez à utiliser la formule des probabilités conditionnelles.
3. Déterminez la probabilité que le terrain soit occupé.
Utilisez la formule des probabilités totales en déterminant une partition de T.
4. Montrez que la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à \frac{27}{41}.
Remarquez qu'il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle et pensez à utiliser les résultats numériques précédents.
Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés :
  • 10 € pour une heure pleine ;
  • 6 € pour une heure creuse.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d'un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs :
  • 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine ;
  • 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse ;
  • 0 lorsque le terrain n'est pas occupé.
5. Construisez le tableau décrivant la loi de probabilité de X.
Pour compléter le tableau, déterminez l'événement associé à chacune des trois sommes, puis sa probabilité à l'aide des questions précédentes.
6. Déterminez l'espérance de X.
Souvenez-vous de la formule de l'espérance : \sum_{i=1}^{4} x_{i} \times p_{i} avec p_i = P(X = x_i).
7. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine.
Calculez la recette hebdomadaire moyenne de la salle.
N'oubliez pas que l'espérance représente la recette moyenne de la location d'un terrain de la salle, pour une heure donnée.

Corrigé

1. 
D'après l'énoncé, on a :
P(C) = \frac{70}{100}= 0,7 ;
P_C(T)= \frac{20}{100}= 0,2;
P_{\bar{C}}(T)= \frac{90}{100}= 0,9.
Pour compléter l'arbre de probabilités :
P(\bar{C})= 1 - P(C) = 1 - 0,7 = 0,3 ;
P_{C}(\bar{T})= 1 - P_C(T)= 1 - 0,2 = 0,8;
P_{\bar{C}}(\bar{T})= 1 - P_{\bar{C}}(T)= 1 - 0,9 = 0,1.
Liban, mai 2013, exercice 4 - illustration 1
2. 
Il s'agit de calculer P(C\cap T).
D'après la formule des probabilités conditionnelles et d'après la question précédente :
P(C\cap T) = P_C(T)\ \times{} P(C) = 0,2\times{} 0,7 = 0,14.
La probabilité que le terrain soit occupé et que l'heure soit creuse est donc 0,14.
3. 
Il s'agit de calculer P(T).
Les événements C\cap T et \bar{C}\cap T forment une partition de l'événement T.
D'après la formule des probabilités totales :
P(T) = P(C\cap T) + P(C\cap \bar{T}).
D'après la question 2. et la formule des probabilités conditionnelles :
P(T) = 0,14 + P_{\bar{C}}(T) \times P(\bar{C}).
Comme P_{\bar{C}}(T)= 0,9 et P(\bar{C})= 0,3, on a :
P(T) = 0,14 + 0,9\times{} 0,3
P(T) = 0,14 + 0,27
P(T) = 0,41.
La probabilité que le terrain soit occupé est donc 0,41.
4. 
Il s'agit de calculer P_{T}(\bar{C}).
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
P_{T}(\bar{C})= \frac{P(T\cap \bar{C})}{P(T)}= \frac{0,27}{0,41}= \frac{27}{41}, d'après les calculs de la question 3..
La probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est donc bien égale à \frac{27}{41}.
5. 
Chaque somme est associée à un événement.
10 € : l'événement T\cap \bar{C} de probabilité P(T \cap \bar{C})= 0,27 (question 3.) ;
6 € : l'événement T\cap C de probabilité P(T \cap C)= 0,14 (question 2.) ;
0 € : l'événement \bar{T} de probabilité P(\bar{T})= 1 - P(T) = 1 - 0,41 = 0,59 (question 3.).
On obtient le tableau qui décrit la loi de probabilité de X suivant :
X=x_i
0
6
10
p_i=P(X=x_i)
P(\bar{T})=0,59
P(C \cap T)=0,14
P(\bar{C} \cap T)=0,27

6. 
En notant E(X) l'espérance de la variable aléatoire X qui suit la loi de probabilité définie dans le tableau de la question 5., on a :
E(X) = \sum_{i=1}^{3} x_{i} \times p_{i} avec p_i= P(X= x_i).
En utilisant les données du tableau, on a :
E(X) = 0\times{} 0,59 +6\times{} 0,14 +10\times{} 0,27= 0 +0,84 +2,7 =3,54 €.
La recette moyenne de la location d'un terrain de la salle, pour une heure donnée, est donc de 3,54 €.
7. 
3,54 € est la recette moyenne, pour une heure donnée, de la location d'un terrain de la salle.
Si la salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine, la recette hebdomadaire moyenne de la salle est :
10\times{} 70\times{} E(X) = 700\times{} 3,54= 2\ 478 €.