Liban, mai 2013, exercice 2

Énoncé

(5 points)
Partie A
On considère la suite (u_n) définie par (u_0=10) et pour tout entier naturel n : u_{n+1} = 0,9u_{n} + 1,2.
1. 
On considère la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par v_n = u_n- 12.
a) Démontrez que la suite (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Montrez que pour tout entier naturel n, v_{n+1} peut s'écrire sous la forme v_{n+1} = q\times{}v_n avec q une constante.
b) Exprimez v_n en fonction de n.
Souvenez-vous de la formule donnant le terme général d'une suite géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison.
c)  Vous devez en déduire que, pour tout entier naturel n, u_n = 12 - 2 \times{} 0,9^n .
Déduisez le résultat de la question précédente et de l'expression de u_n.
2. Déterminez la limite de la suite (v_n) et déduisez-en celle de la suite (u_n).
Pour déterminer la limite de la suite (v_n), remarquez que 0 < 0,9 < 1.
Partie B
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
  • 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
  • 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
1. Montrez que cette situation peut être modélisée par la suite (u_n), où u_n désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012 + n.
Quel coefficient multiplicateur est associé à une baisse de 10 % ?
2. Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
Recopiez et complétez l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année 2012 + n.
Variables :
a, i, n
Initialisation :
Choisir n
a prend la valeur 10
Traitement :
Pour i allant de 1 à n, a prend la valeur…
Sortie :
Afficher a
N'oubliez pas de fermer la boucle « Pour ».
3. 
a) Résolvez l'inéquation : 12 - 2 \times{} 0,9^n > 11,5.
Pour résoudre cette inéquation, pensez à utiliser des équivalences et le logarithme népérien.
b) Donnez-en une interprétation.
Rappelez-vous ce que représentent les termes de la suite (u_n) et n'oubliez pas qu'ils sont exprimés en milliers.

Corrigé

Partie A
1. 
a) 
Pour tout entier naturel n, v_{n+1} =u_{n+1} - 12, puis :
v_{n+1} = 0,9 \times{} u_n+ 1,2 - 12 par définition de u_{n+1} ;
v_{n+1} = 0,9 \times{} u_n - 10,8 ;
v_{n+1} = 0,9 \times{} u_n - 0,9 \times{} 12 car 10,8 = 0,9 \times{} 12 ;
v_{n+1} = 0,9 \times{} (u_n - 12) en factorisant par 0,9 ;
v_{n+1} = 0,9 \times{} v_n par définition de v_n.
La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison q = 0,9 et de premier terme v_0 = -2 (en effet v_0 =u_0 - 12 = 10 - 12 = -2).
b) D'après la formule donnant le terme général d'une suite géométrique en fonction de son premier terme v_0 = -2 et de sa raison q = 0,9 :
v_n = v_0 \times{} q ^ n = -2 \times{} 0,9^n pour tout nombre entier naturel n.
c) Pour tout nombre entier naturel n, on a : u_n = v_n+ 12, soit u_n = 12 - 2 \times{} 0,9^n.
2. 
Étant donné que 0 < 0,9 < 1, on a \lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n = 0.
Par produit :
\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} -2\times 0,9^n = -2 \times{} 0 = 0.
On en déduit, par somme :
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \lim\limits_{n \to +\infty} (v_n + 12) = \lim\limits_{n \to +\infty} v_n + 12
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0 + 12 = 12.
On a donc \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0 et \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 12.
Partie B
1. 
Pour tout entier naturel n, on note u_n le nombre d'habitants de Bellecité, exprimé en milliers, l'année « 2012 + n ».
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 10 % est 1 - \frac{10}{100} = 0,9.
Après la baisse de 10 % du nombre d'habitants l'année « 2012 + n » (n \in \mathbb{N}), le nombre d'habitants de Bellecité passe, en milliers, à 0,9 \times{} u_n.
Après la naissance ou l'emménagement de 1 200 personnes pendant l'année « 2012 + n », le nombre d'habitants de Bellecité l'année « 2012 + n + 1 » est, en milliers, de 0,9 \times{} u_n + 1,2 =u_{n+1}.
De plus, on a bien u_0 = 10, donc la situation peut être modélisée par la suite u_n définie par u_{n+1} = 0,9 \times{} u_n + 6 tout entier naturel n et u_0 = 10.
2.  Variables :
a, i, n
Initialisation :
Choisir n
a prend la valeur 10
Traitement :
Pour i allant de 1 à n
a prend la valeur 0,9a + 1,2
Fin du Pour
Sortie :
Afficher a
3. 
a) 
Soit n un entier naturel.
12 - 2 \times{} 0,9^n > 11,5 \Leftrightarrow 2 \times{} 0,9^n < 0,5 ;
12 - 2 \times{} 0,9^n > 11,5 \Leftrightarrow 0,9^n < \frac{0,5}{2} ;
12 - 2 \times{} 0,9^n > 11,5 \Leftrightarrow 0,9^n < 0,25 ;
12 - 2 \times{} 0,9^n > 11,5 \Leftrightarrow \ln(0,9^n ) < \ln(0,25), car la fonction ln est strictement croissante sur ]0~; +\infty[ ;
12 - 2 \times{} 0,9^n > 11,5 \Leftrightarrow n \ln(0,9) < \ln(0,25) car \ln(a^n) =n \ln(a) pour tout a\in ]0~; +\infty[ et n \in \mathbb{N} ;
12 - 2 \times{} 0,9^n > 11,5 \Leftrightarrow n > \frac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)} \approx 13,2, car 0,9 < 1 donc \ln(0,9) < 0.
12 - 2 \times{} 0,9^n > 11,5 \Leftrightarrow n \geq{} 14.
b) 
D'après la question précédente, u_n étant le nombre d'habitants, en milliers, de Bellecité l'année (2012 + n), c'est à partir de l'année 2012 + 14 = 2026 que cette ville dépassera les 11,5 \times{} 1\ 000 = 11\ 500 habitants.