Liban, mai 2013, exercice 1

Énoncé

(5 points)
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopiez le numéro de la question et la réponse exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
1. 
Parmi toutes les fonctions définies sur ]0\ ;\ +\infty[ et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est :
a) x^{3}-3x^{2}+4
b) \ln(x)
c) -\mathrm{e}^{x}
d) x^{2}+x+5
Souvenez-vous du lien entre la convexité d'une fonction (deux fois dérivable) sur un intervalle et le signe de sa dérivée seconde sur cet intervalle
2. 
Une primitive de f sur ]0\ ;\ +\infty[ définie par f(x)=\ln(x) est la fonction F définie par :
a) F(x)=\frac{1}{x}
b) F(x)=x\ln(x)-x
c) F(x)=x\ln(x)
d) F(x)=\ln(x)
Déterminez la fonction F telle que F'(x) =f(x), pour tout x\in ]0\ ;\ +\infty[.
3. 
La valeur exacte de l'intégrale \int^{1}_{0}\mathrm{e}^{2x}\textrm{d}x est égale à :
a) 3,19
b) \mathrm{e}^{2}-1
c) \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2}
d) \frac{1}{2}(\mathrm{e}^{2}-1)
Pour calculer cette intégrale, déterminez une primitive de la fonction x \mapsto \mathrm{e}^{2x}.
4. 
Si une variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}(1\ ;\ 4), alors une valeur approchée au centième de P(2\leq X\leq 3) est :
a)  0,15
b) 0,09
c) 0,34
d) 0,13
Faites attention, car si la variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}(1\ ;\ 4), \sigma ^{2} = 4 (avec \sigma > 0).
5. 
Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire. L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est :
a) [0,35\ ;\ 0,75]
b) [0,40\ ;\ 0,70]
c) [0,45\ ;\ 0,65]
d) [0,50\ ;\ 0,60]
À l'aide de l'énoncé, déterminez les valeurs n et f de l'intervalle de confiance.

Corrigé

1. 
d) x ^{2} +x+ 5.
Une fonction (deux fois dérivable) est convexe sur l'intervalle ]0\ ;\ +\infty[ si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
On pose f(x) = x^{2} +x+ 5 pour x\in ]0\ ;\ +\infty[. La fonction f est dérivable sur cet intervalle et f'(x) = 2x+ 1 pour tout x\in ]0\ ;\ +\infty[.
f' est dérivable sur cet intervalle et f'(x)=2\geq 0 pour tout x\in ]0\ ;\ +\infty[.
La fonction f est donc convexe sur l'intervalle ]0\ ;\ +\infty[.
2. 
b) F(x) =x\ln(x) -x.
On pose F(x) = \ln(x) - x pour x\in]0\ ;\ +\infty[.
La fonction F est dérivable sur ]0\ ;\ +\infty[ en tant que produit et différence de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout x\in]0\ ;\ +\infty[, F'(x) = \ln(x) +x\times{} \frac{1}{x}- 1 = \ln(x) =f(x).
Une primitive de la fonction f sur ]0\ ;\ +\infty[ est la fonction F définie par :
F(x) =x\ln(x)-x sur ]0\ ;\ +\infty[.
3. 
d) \frac{1}{2}(\mathrm{e}^{2} - 1).
\int_0^1 \mathrm{e}^{2x} \textrm{d}x= \left[\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right]_0^1= \frac{{e}^2}{2} -\frac{{e}^0}{2}= \frac{1}{2}(\mathrm{e}^{2} - 1).
4. 
a) 0,15.
Si la variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}(1\ ;\ 4), on a \sigma ^{2} = 4 (avec \sigma > 0) donc \sigma =\sqrt{4}= 2.
Il s'agit de déterminer P(2 \leq X\leq3) en utilisant la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « ncd », entrez :
  • Lower : 2 ;
  • Upper : 3 ;
  • \sigma : 2 ;
  • \mu : 1 ;
  • puis calculez.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis « normalcdf( » (ou bien « normalFRép( » selon les modèles), complétez en « normalcdf(2,3,1,2) » (ou bien « normalFRép(2,3,1,2) »).
On obtient : P(2 \leq X\leq 3) \approx 0,15 au centième près.
5. 
c) [0,45\ ;\ 0,65].
On a n= 100 et f= \frac{55}{100}= 0,55 et on vérifie que :
0 < f=0,55 < 1,
n= 100\geq 30, nf= 0,55\times{}100 = 55\geq 5 et
n(1 - f) = 100\times{}0,45 = 45\geq 5.
L'intervalle de confiance au niveau 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire est \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ f+ \frac{1}{\sqrt{n}}\right] soit, avec les valeurs numériques, \left[0,55 - \frac{1}{\sqrt{100}}\ ;\ 0,55 + \frac{1}{\sqrt{100}}\right] puis [0,45\ ;\ 0,65].