Amérique du Nord, mai 2013, exercice 4

Énoncé

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} dont la courbe représentative C_f est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.
Amérique du Nord, mai 2013, exercice 4 - illustration 1
Partie A
On suppose que f est de la forme :
f(x)=(b-x)\mathrm{e}^{ax}
a et b désignent deux constantes.
On sait que :
  • les points A(0\ ;\ 2) et D(2\ ;\ 0) appartiennent à la courbe C_f ;
  • la tangente à la courbe C_f au point A est parallèle à l'axe des abscisses.
On note f' la fonction dérivée de f, définie sur \mathbb{R}.
1. Par lecture graphique, indiquez les valeurs de f(2) et f'(0).
Que représente f'(0) par rapport à la courbe C_f ?
2. Calculez f'(x).
Souvenez-vous que pour toutes fonctions u et v dérivables un intervalle I,
(uv)' = uv' + u'v sur l'intervalle I.
3. En utilisant les questions précédentes, montrez que a et b sont solutions du système suivant :
\begin{cases}b-2=0\cr ab-1=0\end{cases}
Calculez f(2) et f'(0) à l'aide de l'expression de f et de celle de f' et déduisez-en deux égalités.
4. Calculez a et b et donnez l'expression de f(x).
Résolvez le système pour déterminer a et b puis l'expression de f.
Partie B
On admet que f(x)=(-x+2)\mathrm{e}^{0,5x}.
1. À l'aide de la première figure, justifiez que la valeur de l'intégrale \int^{2}_{0}f(x)\textrm{d}x est comprise entre 2 et 4.
Encadrez l'intégrale par les aires de deux figures.
2. 
a) On considère F la fonction définie sur \mathbb{R} par F(x)=(-2x+8)\mathrm{e}^{0,5x}. Montrez que F est une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.
Montrez que pour tout x\in \mathbb{R}, F'(x) = f(x).
b) Calculez la valeur exacte de \int^{2}_{0}f(x)\textrm{d}x et en donnez une valeur approchée à 10^{-2} près.
Exprimez l'intégrale à l'aide de la fonction. F.
3. On considère G une autre primitive de f sur \mathbb{R}.
Parmi les trois courbes \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G.
Déterminez la courbe qui convient et justifiez votre réponse.
À l'aide de la première figure, déterminez le signe de f sur \mathbb{R}, donc les variations de la fonction G sur \mathbb{R}. Déduisez-en la courbe qui convient.
Amérique du Nord, mai 2013, exercice 4 - illustration 2

Corrigé

Partie A
1. 
Le point D a pour coordonnées D(2\,;\,0) donc f(2) = 0.
La tangente à la courbe \mathcal{C}_f au point A(0\,;\,2) est parallèle à l'axe des abscisses, donc f'(0) = 0.
2. 
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) =b - x et v(x) = \mathrm{e}^{ax}, on a u'(x) = -1 et v'(x) = a\mathrm{e}^{ax}.
Pour tout x\in \mathbb{R} :
f'(x) = (u\times{} v)'(x)= u'(x)\times{}v(x) + u(x)\times{}v'(x)
f'(x)= -\mathrm{e}^{ax} + (b - x)a\mathrm{e}^{ax}
f'(x) = ((b - x)a - 1)a\mathrm{e}^{ax}.
3. 
D'après la question 1. :
f(2) = 0 mais aussi f(2) = (b - 2)\mathrm{e}^{2a} donc (b - 2)\mathrm{e}^{2a}= 0 puis b - 2 = 0 car l'exponentielle ne s'annule jamais ;
f'(0) = 0 mais aussi f'(0) = (ba - 1)\mathrm{e}^0=ba - 1 donc ba - 1 = 0.
a et b sont donc solutions du système \left \lbrace \begin{array}{l} b - 2 = 0 \\ ab-1 = 0 \end{array} \right..
4. 
\left \lbrace \begin{array}{l} b - 2 = 0 \\ ab-1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} b = 2 \\ 2a-1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} b = 2 \\ 2a=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} b = 2 \\ a =0,5 \end{array} \right..
On a donc f(x) = (2 - x)\mathrm{e}^{0,5x} pour tout x\in \mathbb{R}.
Partie B
1. 
La fonction f est positive donc, \int_0^2 f(x) \textrm{d}x est l'aire (en unités d'aire) de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de f, les droites d'équation x= 0 (axe des ordonnées) et x= 2.
En notant B le point de coordonnées B(2\ ;\ 2), A_{\mathrm{OAD}} l'aire du triangle OAD rectangle en O, A_{\mathrm{AODB}} l'aire du carré AODB, on a :
A_{\mathrm{OAD}} =\frac{2\times 2}{2}= 2 < \int_0^2 f(x) \textrm{d}x < A_{\mathrm{AODB}} = 2\times{}2 = 4 (en unités d'aire).
Amérique du Nord, mai 2013, exercice 4 - illustration 3
2. 
a) 
La fonction F est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) = -2x+ 8 et v(x) = \mathrm{e}^{0,5x}, on a u'(x) = -2 et v'(x) = 0,5\mathrm{e}^{0,5x}.
Pour tout x\in \mathbb{R} :
F'(x) = (u\times{} v)'(x) = u'(x)\times{}v(x) + u(x)\times{}v'(x)
F'(x) = -2\mathrm{e}^{0,5x} + (-2x+ 8)\times{}0,5\mathrm{e}^{0,5x} = (-2 -x + 4) \mathrm{e}^{0,5x} = f(x).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F(x) = (-2x + 8)\mathrm{e}^{0,5x} est donc une primitive de la fonction f sur \mathbb{R}.
b) 
La fonction F est une primitive de la fonction f sur \mathbb{R} donc :
\int_0^2 f(x) \textrm{d}x=F(2) - F(0)= (-2\times{}2 + 8)\mathrm{e}^{0,5\times 2}- (-2\times{}0 + 8)\mathrm{e}^{0,5\times 0}
\int_0^2 f(x) \textrm{d}x= 4\mathrm{e} - 8 \approx 2,87 à 10^{-2} près.
3. 
La fonction f est la dérivée de la fonction G sur \mathbb{R} .
D'après la première figure :
  • f est positive sur l'intervalle ]-\infty\ ;\ 2] donc G est croissante sur cet intervalle ;
  • f est négative sur l'intervalle [2\ ;\ +\infty] donc G est décroissante sur cet intervalle.
D'après la seconde figure, c'est la courbe \mathcal{C}_3 qui convient.