Amérique du Nord, mai 2013, exercice 2

Énoncé

(5 points)
Dans cet exercice, les résultats seront donnés à 10−3 près.
1. 
Une étude interne d'une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X, qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12.
a) Calculez la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans.
Utilisez la calculatrice pour calculer P(30\leq{}X\leq{}35).
b) Calculez la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge supérieur ou égal à 55 ans.
Déterminez la probabilité cherchée et utilisez la formule suivante : pour tout nombre réel x\ \geq{}\ \mu, P(X\ \leq\ x) = 0,5 + P(\mu\ \leq\ X\ \leq\ x)
2. 
Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.
Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1 000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées.
a) Donnez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque.
À l'aide de l'énoncé, déterminez les valeurs n et p de l'intervalle de fluctuation. Pensez à arrondir les bornes à 10−3 près.
b) Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1 000 dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.
Énoncez une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95 %.
Pour énoncer une règle, souvenez-vous de la définition de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
c) Que pensez-vous du slogan publicitaire de la banque ?
Que pouvez-vous dire à propos des données de la question 2. b) et de l'intervalle de fluctuation trouvé à la question 2. a).

Corrigé

1 
a) 
La variable aléatoire X suit la loi normale N(40,5\ ;\ 12^2) et il s'agit de déterminer P(30\leq\ X\ \leq\ 35) en utilisant la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « ncd », entrez :
  • Lower : 30 ;
  • Upper : 35 ;
  • \sigma\ : 12 ;
  • \mu\ : 40.5 ;
  • puis calculez.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS »), puis « normalcdf( » ou bien « normalFRép( », selon les modèles, complétez en « normalcdf(30,35,40.5,12) » ou bien « normalFRép(30,35,40.5,12) ».
On obtient : P(30\leq\ X\ \leq\ 35) \approx 0,133 à 10^{-3} près.
La probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans est d'environ 0,133.
b) 
La variable aléatoire X suit la loi normale N(40,5\ ;\ 12^2), il s'agit de déterminer P(X\ \geq{}\ 55) ou encore 1 -P(X\ \leq\ 55).
Or pour tout nombre réel x\ \geq{}\mu =40,5,
P(X\ \leq\ x) = 0,5 +P(40,5\leq\ X\ \leq\ x).
Donc avec x= 55 :
P(X\ \geq{}\ 55) = 1 -P(X\ \leq\ 55)
P(X\ \geq{}\ 55) = 1 - (0,5 +P(40,5\leq\ X\ \leq\ 55))
P(X\ \geq{}\ 55) = 0,5 -P(40,5\leq\ X\ \leq\ 55).
Déterminons P(40,5\leq\ X\ \leq\ 55) en utilisant la calculatrice.
Avec une CASIO : dans les menus « STAT », puis « DIST », puis « NORM », puis « ncd », entrez :
  • Lower : 40,5 ;
  • Upper : 55 ;
  • \sigma\ : 12 ;
  • \mu\ : 40.5 ;
  • Puis calculez.
Avec une T.I. : dans les menus « DIST » (avec « 2nd » puis « VARS  »),
puis « normalcdf( » ou bien « normalFRép( » selon les modèles, complétez en « normalcdf(40.5,55,40.5,12) » ou bien « normalFRép(40.5,55,40.5,12) ».
On obtient : P(40,5\leq\ X\ \leq\ 55) \approx 0,387 à 10^{-3} près.
On a donc P(X\ \geq{}\ 55) \approx 0,5 - 0,387 \approx 0,113 à 10^{-3} près.
La probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans est environ 0,113.
2 
a) 
On a n= 1\ 000 et p= \frac{75}{100}= 0,75 et on vérifie que 0 < p=0,75 < 1, n= 1\ 000\geq{}\ 30, np= 0,75 \times{} 1\ 000 = 750\geq{}\ 5 et n(1 - p) = 1\ 000\times{} 0,25 = 250 \geq{}5.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque est :
I_{1\ 000} = \left[p - 1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\ ;\ p+1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]
I_{1\ 000} = \left[0,75 - 1,96\frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{1~000}}\ ; 0,75 + 1,96\frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{1~000}}\right]
I_{1\ 000} = [0,723\ ;\ 0,777] en arrondissant à 10^{-3} près.
b) 
Pour valider le slogan publicitaire, au niveau de confiance 95 %, il faut que la fréquence observée appartienne à l'intervalle I_{1\ 000}.
Si la fréquence observée n'appartient pas à cet intervalle, le slogan publicitaire ne sera pas validé au niveau de confiance de 95 %.
c) 
On a \frac{600}{1\ 000}= 0,6\notin{I_{1\ 000}} = [0,723\ ;\ 0,777], donc le slogan publicitaire de la banque n'est pas validé au seuil de 95 %.