Amérique du Nord, mai 2013, exercice 1

Énoncé

(4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopiez pour chaque question la réponse exacte et justifiez celle-ci. Chaque réponse exacte vous rapportera 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
1. 
Pour tout réel a non nul, le nombre réel \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}} est égal à :
a) -\mathrm{e}^{\frac{1}{a}}
b) \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{a}}}
c) \frac{1}{\mathrm{e}^{a}}
d) \mathrm{e}^{a}
Pour x\in{\mathbb{R}} , quelle égalité a-t-on avec \mathrm{e}^{-x} ?
2. 
Pour tout réel a, le nombre réel \mathrm{e}^{\frac{a}{2}} est égal à :
a) \sqrt{\mathrm{e}^{a}}
b) \frac{\mathrm{e}^{a}}{2}
c) \frac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{2}}
d) \mathrm{e}^{\sqrt{a}}
Pour x\in{\mathbb{R}} ; et q\in{\mathbb{Q}} , quelle égalité a-t-on avec \mathrm{e}^{q\times x} ?
3. 
Pour tout réel x < 0, le nombre réel \ln\left(-\frac{1}{x}\right) est égal à :
a) \ln(x)
b) -\ln(-x)
c) -\ln(x)
d) \frac{1}{\ln(-x)}
Pour X > 0, quelle égalité a-t-on avec \ln \left(\frac{1}{X}\right)?
4. 
On donne la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+\infty[ par f(x)=x\ln(x).
La dérivée de f est définie sur ]0;+\infty[ par :
a) f'(x)=1
b) f'(x)=\ln(x)
c) f'(x)=\frac{1}{x}
d) f'(x)=\ln(x)+1
Dérivez la fonction f en remarquant que son expression est un produit.

Corrigé

1. 
b) \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{a}}}.
Pour tout x\in{\mathbb{R}}, \mathrm{e}^{-x}= \frac{1}{\mathrm{e}^{x}}.
Donc, pour tout réel a non nul, en prenant x=\frac{1}{a}, \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}}= \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{a}}}.
2. 
a) \sqrt{\mathrm{e}^{a}}.
Pour tout x\in{\mathbb{R}} et tout q\in{\mathbb{Q}}, \mathrm{e}^{q\times x}=(\mathrm{e}^{x})^q.
Donc, pour tout réel a, en prenant q=\frac{1}{2},
\mathrm{e}^{\frac{a}{2}}=\mathrm{e}^{a \times \frac{1}{2}}=(\mathrm{e}^{a})^{\frac{1}{2}} =\sqrt{\mathrm{e}^{a}}.
3. 
b) -\ln(-x).
Tout d'abord, pour tout x < 0, -\frac{1}{x} > 0, donc \ln(-\frac{1}{x}) existe bien.
Pour tout X > 0, \ln(\frac{1}{X})= -\ln(x).
Donc, pour tout nombre réel x < 0, en prenant X= - x > 0, \ln(-\frac{1}{x})= \ln(\frac{1}{-x}) = -\ln(- x).
4. 
d) f'(x) = \ln(x) + 1.
La fonction f est dérivable sur l'intervalle ]0;+\infty[ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En posant u(x) =x et v(x) = \ln x, on a :
u'(x) = 1 et v'(x) =\frac{1}{x}.
Pour tout x\in \;]0~;+\infty[,
f'(x) = (uv)'(x) = u'(x)\times{}v(x) + u(x)\times{}v'(x)
f'(x) = \ln x+x\times{}\frac{1}{x}= \ln x+ 1.