Inde, avril 2013, exercice 4

Énoncé

(6 points)
La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.
Partie A
On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle [0\ ;\ 6] par f(x) = 1 - (x + 1)\mathrm{e}^{-x}.
1. Montrez que f'(x) = x\mathrm{e}^{-x}f' désigne la fonction dérivée de la fonction f.
Faites attention car il y a un produit dans l'expression de f et rappelez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle J, (\mathrm{e}^{u})'= u\mathrm{e}^{u} sur J.
2. Démontrez que l'équation f(x)=0,5 admet une solution unique \alpha sur l'intervalle [0\ ;\ 6].
Puis, déterminez une valeur arrondie de \alpha à 0,01.
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
3. On admet que la fonction F définie sur [0\ ;\ 6] par F(x) = x + (x + 2)\mathrm{e}^{-x} est une primitive de f sur [0\ ;\ 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10^{-3} de I = \int^{6}_{0}f(x)\textrm{d}x.
F étant une primitive de la fonction f sur [0\ ;\ 6], remarquez que l'on a 
I = \int_0^6 f(x)\textrm{d}x = [F(x)]_0^6.
Partie B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction f définie dans la partie A pour x compris entre 0 et 6.
x représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
f(x) représente la production journalière de batteries en milliers.
1. Exprimez en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités.
Utilisez la question 2. de la partie A.
2. Déterminez une valeur arrondie à 10^{-3} de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.
Utilisez la question 3. de la partie A.
Partie C
Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en kilomètre, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance \mu = 200 et d'écart type \sigma = 40.
1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?
Déterminez la probabilité cherchée et utilisez les formules suivantes : pour tout nombre réel x \leq\mu, P(X\leq x) = 0,5 -P(x\leq{}X\leq{}\mu) ; P(\mu-\sigma\leq{}X\leq{}\mu+\sigma) \approx 0,68 au centième près.
2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifiez votre réponse.
Déterminez la probabilité cherchée et utilisez les formules suivantes : pour tout nombre réel x\leq{}\mu, P(X\leq{}x) = 0,5 +P(\mu\leq{}X\leq{}x) ; P(\mu-3\sigma\leq{}X\leq{}\mu+3\sigma)
\approx 0,997 à 10^{-3} près.

Corrigé

Partie A
1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0\ ;\ 6] en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
Pour tout x\in[0\ ;\ 6], en posant u(x) =x+ 1 et v(x) = \mathrm{e}^{-x}, on a :
f'(x) = -(uv)'(x)
f'(x) = -(u'(x)\times{}v(x) + u(x)\times{}v'(x))
f'(x) =-(1\times \mathrm{e}^{-x}-(x+1)\mathrm{e}^{-x})
f'(x) =-\mathrm{e}^{-x}+(x+1)\mathrm{e}^{-x}= x\mathrm{e}^{-x}.
2. Pour tout x\in]0\ ;\ 6], \mathrm{e}^{-x} > 0 donc f'(x) =x\mathrm{e}^{-x} > 0 et la fonction f est strictement croissante (et continue) sur l'intervalle [0\ ;\ 6] (en prenant 0 aussi).
De plus, f(0) = 1 - \mathrm{e}^0 = 0 et f(6) = 1 - 7\mathrm{e}^-6 \approx 0,98, donc f(0) < 0,5
et f(6) > 0,5.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0,5 admet une unique solution \alpha sur l'intervalle [0\ ;\ 6].
À l'aide d'un tableau de valeurs :
f(1) \approx 0,26 et f(2) \approx 0,59 au centième près donc 1 < \alpha < 2 ;
f(1,6) \approx 0,48 et f(1,7) \approx 0,51 au centième près donc 1,6 < \alpha < 1,7 ;
f(1,67) \approx 0,497 et f(1,68) \approx 0,501 au millième près donc 1,67 < \alpha < 1,68 ;
f(1,678) \approx 0,4999 et f(1,679) \approx 0,5002 au dix-millième près
donc 1,678 < \alpha < 1,679.
Une valeur arrondie de \alpha à 0,01 est donc 1,68.
3. D'après l'énoncé, la fonction F définie par F(x) = x +(x+2)\mathrm{e}^{-x} sur l'intervalle [0 ; 6] est une primitive de la fonction f sur cet intervalle.
On a donc :
I=\int_0^6 f(x)\textrm{d}x = [F(x)]_0^6=[x +(x+2)\mathrm{e}^{-x}]_0^6
I= 6 + 8\mathrm{e}^{-6}- 2\mathrm{e}^{-0}= 6 + 8\mathrm{e}^{-6}- 2 = 4 + 8\mathrm{e}^{-6}\approx 4,020 à 10^{-3} près.
Partie B
1. D'après la question 2. de la partie A, la production atteindra 500 unités au bout de 1,68 mois soit 1,68\times{}30 = 50,4 \approx 51 jours (valeur approchée à l'unité par excès).

2. Soit \mu la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six derniers mois.
Par définition, on a \mu=\frac{1}{6-0}\int_0^6 f(x)\mathrm{d}x=\frac{I}{6}.
D'après la question 3. de la partie A :
\mu=\frac{I}{6}= \frac{4+8\mathrm{e}^{-6}}{6} \approx 0,670 à 10^{-3} près.
Remarque : la valeur moyenne de la production sur les six derniers mois est donc de 670 unités.
Partie C
1. En notant X cette variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance \mu = 200 et d'écart type \sigma = 40, la probabilité cherchée est : P(X < 160).
Or pour tout nombre réel x \leq \mu,
P(X \leq x) = 0,5 - P(x \leq X \leq \mu),
donc P(X < 160) = 0,5 - P(160 \leq X \leq 200).
De plus, on a \mu = 200 et \sigma = 40,
donc P(X < 160) = 0,5 - P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu).
Or P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu) =\frac{P(\mu -\sigma \leq X \leq \mu+\sigma)}{2} par symétrie,
donc P(X < 160) = 0,5 - \frac{P(\mu -\sigma\le X \le \mu + \sigma)}{2}.
Sachant que P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,68 au centième près,
on en déduit que P(X < 160) \approx 0,5 - \frac{0,68}{2} \approx 0,16 au centième près.
2. La probabilité cherchée est P(X > 320).
On a :
P(X > 320) =P(X > 200 + 3\times{}40)
P(X > 320) =P(X > \mu + 3\sigma)
P(X > 320) = 1 - P(X \leq \mu + 3\sigma)
P(X > 320) = 1 - (0,5 +P(\mu \leq X \leq \mu + 3\sigma))
P(X > 320) = 0,5 - P(\mu \leq X \leq \mu + 3\sigma)
car pour tout nombre réel x\geq \mu,
P(X \leq x) = 0,5 +P(\mu \leq X \leq x).
Or P(\mu \leq X \leq \mu + 3\sigma) = \frac{P(\mu -3\sigma \leq X \leq \mu +3\sigma)}{2} par symétrie,
donc P(X > 320) = 0,5 - \frac{P(\mu -3\sigma \leq X \leq \mu +3\sigma)}{2}.
Sachant que P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997 à 10^{-3} près,
on obtient P(X > 320) = 0,5 - \frac{0,997}{2} \approx 0,0015 à 10^{-4} près,
donc P(X > 320) < 0,01.
La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries n'est donc pas supérieure à 0,01.