Inde, avril 2013, exercice 3

Énoncé

(5 points)
Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note C_n le capital du client au 1er janvier de l'année 2000 + n, où n est un entier naturel.
1. Calculez C_1 et C_2. Vous arrondirez les résultats au centime d'euro.
Le capital C_1 correspond au capital C_0 augmenté de 2,5 % de cette somme. Suivez le même raisonnement pour calculer C_2.
2. Exprimez C_{n+1} en fonction de C_n. Vous devez en déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a la relation C_{n}=3\,000\times 1,025^{n}.
À l'aide du 1., déduisez-en une formule entre C_n et C_{n+1}.
3. 
On donne l'algorithme suivant :
On donne l'algorithme suivant :
Entrée :
Saisir un nombre S supérieur à 3 000
Traitement :
Affecter à n la valeur 0 (initialisation)
Affecter à U la valeur 3 000 (initialisation)
Tant que U\le S prend la valeur n + 1
U prend la valeur U × 1,025
Fin du Tant que
Sortie :
Afficher le nombre 2 000 + n
a) Pour la valeur S = 3\ 300 saisie, recopiez et complétez autant que nécessaire le tableau suivant. Vous arrondirez les résultats à l'unité.
Complétez les colonnes du tableau jusqu'à ce que la valeur de U soit strictement supérieure à celle de S.
Inde, avril 2013, exercice 3 - illustration 1
b)  Déduisez en l'affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300.
Attention ! L'algorithme affiche le nombre 2 000 + n et non le nombre n.
c) Dans le contexte de cet exercice, expliquez comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000.
Généralisez l'interprétation du nombre en sortie de cet algorithme à l'aide des questions 3. a) et 3. b).
4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5 000 €. Montrez que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.
Il s'agit de calculer C_{13} et de le comparer à 5\ 000.
5. Déterminez, en détaillant votre méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.
Il s'agit de résoudre l'inéquation C_n \geq{} 10C_0. Pensez à utiliser la fonction logarithme népérien.

Corrigé

1. C_1 =C_0 + \frac{2,5}{100} C_0
C_1 = 3\ 000 + \frac{2,5}{100} \times{} 3\ 000 = 3\ 000 + 75
C_1 = 3\ 075 €.
C_2 =C_1 + \frac{2,5}{100} C_1
C_2 = 3 075 + \frac{2,5}{100}\times{} 3 075 \approx 3\ 075 + 76,88
C_2 \approx 3\ 151,88 €.
2. En utilisant le même raisonnement qu'à la question 1., on a :
C_{n+1} = C_n+ \frac{2,5}{100} C_n = 1,025 C_n pour tout n \in \mathbb{N}.
(C_n) est donc une suite géométrique de raison 1,025 et de premier terme C_0 = 3\ 000.
D'après la formule donnant le terme général d'une suite géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison : C_n = 3 000 \times{} 1,025^n pour tout n \in \mathbb{N}.
3. 
a) 
Valeur de n
0
1
2
3
4
Valeur de U
3\ 000
3\ 075
3\ 152
3\ 231
3\ 311
Condition U \leq{} S
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Faux

b) n = 4 donc le nombre affiché est 2004.
c) Le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3\ 000 est l'année où la somme placée devient supérieure à S au 1er janvier.
4. D'après la question 2., au 1er janvier 2013 le capital est :
C_{13} = 3\ 000 \times{} 1,025^{13} \approx 4\ 135,53 €.
Le capital de son placement est donc insuffisant à cette date.
5. Soit n le nombre d'années au bout duquel le capital initial sera multiplié par 10 au 1er janvier. On a C_n \geq{} 10C_0 = 30\ 000 et :
C_n \geq{} 30 000 \Leftrightarrow 3 000 \times{} 1,025^n \geq{} 30 000
C_n \geq{} 30\ 000 \Leftrightarrow 1,025^n \geq{} \frac{30\ 000}{3~000} = 10
C_n \geq{} 30\ 000 \Leftrightarrow \ln(1,025^n) \geq{} \ln(10) car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0\ ;\ +\infty[ et la fonction exponentielle strictement croissante sur \mathbb{R}.
C_n \geq{} 30 000 \Leftrightarrow \ln(1,025) \geq{} \ln(10)
C_n \geq{} 30 000 \Leftrightarrow n \geq{} \frac{\ln(10)}{\ln(1,025)}\approx 93,25 car 1,025 > 1 donc \ln(1,025) \geq{} \ln(1) = 0.
On prend n = \mathrm{E}( \frac{\ln(10)}{\ln(1,025)}) + 1 = 94\mathrm{E} est la fonction partie entière.
Au 1er janvier 2094, le placement initial sera multiplié par 10.