Inde, avril 2013, exercice 2

Énoncé

(5 points)
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :
  • L : « l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi » ;
  • C : « l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire ».
1. Construisez un arbre pondéré décrivant la situation.
Complétez l'arbre pondéré en utilisant la formule :
pour tout événement A, P(\bar{A}) = 1 -P(A).
2. Calculez P(L\cap C) la probabilité de l'événement L \cap C.
Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
3. Montrez que P(C) = 0,5675.
Utilisez la formule des probabilités totales en trouvant une partition de C.
4. Calculez P_{C}(L), la probabilité de l'événement L sachant l'événement C réalisé. Donnez en une valeur arrondie à 10^{-4}.
Utilisez de nouveau la formule des probabilités conditionnelles, avec les résultats numériques des questions précédentes.
5. 
On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.
a) Précisez les paramètres de cette loi binomiale.
IIl s'agit de trouver les valeurs n et p de cette loi binomiale B(n\ ;\ p).
b) Calculez la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Donnez en une valeur arrondie à 10^{-4}.
Remarquez que le résultat est une probabilité élevée à la puissance 4.
c) Calculez la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Il s'agit de calculer P(X= 2) à l'aide d'une formule.

Corrigé

1. 
Pour compléter l'arbre pondéré, on calcule :
P(\bar{L}) = 1 - P(L) = 1 - 0,55 = 0,45.
P_L(\bar{C})= 1 - P_L(C)= 1 - 0,95 = 0,05.
P_{\bar{L}(\bar{C})}= 1 - P_{\bar{L}}(C)= 1 - 0,1 = 0,9.
Inde, avril 2013, exercice 2 - illustration 1
2. D'après la formule des probabilités conditionnelles :
P(L\cap C)= P_L(C) \times P(L)= 0,95 \times 0,55 = 0,5225.
3. Les événements L\cap C et \bar{L}\cap C forment une partition de l'événement C.
Donc, d'après la formule des probabilités totales :
P(C)= P(L \cap C)+ P(\bar{L}\cap C)
P(C)= P_L(C) \times P(L) +P_{\bar{L}}(C) \times P(\bar{L})
P(C)= 0,5225 + 0,1\times{} 0,45
P(C)= 0,5225 + 0,045 = 0,5675.
4. D'après la formule des probabilités conditionnelles :
P_C(L)= \frac{P(L \cap C}{P(C)}= \frac{0,5225}{0,5675} \approx 0,9207 à 10^{-4} près.
5. 
a) On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard donc n=4.
La probabilité qu'un élève soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est P(C)= 0,5675= p. La loi binomiale est donc la loi B(4\ ;\ 0,5675).
b) La probabilité qu'un élève ne soit pas favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est : 1 -p= 1 - 0,5675 = 0,4325.
La probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est donc P(X= 0) = (1 - p)^{4} = 0,4325^4
= \approx 0,0350 à 10^{-4} près.
c) La probabilité cherchée est P(X= 2).
Or pour tout entier naturel k tel que 0\geq{}\ k\geq{}4, P(X = k) = (_k^4)\times p^k \times (1-p)^{4-k} donc P(X = 2) = (_2^4)\times 0,5675^2 \times 0,4325^2= 6\times{} 0,5675^2\times 0,4325^2 \approx 0,3615 à 10 ^{-4} près.
La probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire est 0,3615 à 10 ^{-4} près.