Énoncé

En 2012, la population d'une ville est de 40 000 habitants. Une étude statistique révèle qu'à partir de 2013, le nombre d'habitants va diminuer de 5 % chaque année. En revanche, 200 nouveaux habitants vont aménager dans la ville.
Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la population de cette ville.
Pour tout entier n, on note un le nombre d'habitants de cette ville pour l'année 2012 + n.
1 À quoi est égal u0 ?
Déterminer u1 et u2.
2 La suite (un) est-elle arithmétique ou géométrique ?
3 Justifier que pour tout nombre entier naturel n, on a : u_{n+1}=0,95u_{n}+200.
4 
Soit (vn) la suite définie pour tout entier n par : v_{n}=u_{n}-4000.
a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n, en déduire l'expression de un en fonction de n.
c) Estimer le nombre d'habitants de cette ville en 2017.
d) En supposant que les conditions ne changent pas, quel sera à terme le nombre d'habitants de cette ville ?

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Suites.
Coefficient multiplicateur
Suite arithmético-géométrique
Suite arithmétique
Suite géométrique
Limite de la suite
Limite d'une suite géométrique
Nos conseils
1 Déterminez le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 5 % du nombre d'habitants d'une année sur l'autre. Aussi, n'oubliez pas qu'il y a 200 habitants de plus d'une année sur l'autre.
2 Déterminez si la différence entre deux termes consécutifs est constante ou non, et aussi si le quotient entre deux termes consécutifs est constant ou non.
3 Déduisez cette égalité de l'évolution du nombre d'habitants d'une année sur l'autre.
4 
a) Montrez que pour tout entier naturel n, le quotient \frac{v_{n+1}}{v_n} est constant.
b) Il s'agit de donner le terme général de la suite (vn), qui est une suite géométrique, puis d'en déduire celui de la suite (un).
c) Il s'agit de calculer u5.
d) Remarquez que la raison q de la suite (vn) est telle que 0 < q < 1.

Corrigé

1 On a u0 = 40 000.
Pour calculer u1, on sait qu'il y a une diminution de 5 % du nombre d'habitants donc il ne restera que 40 000 × 0,95 = 38 000 habitants. Mais il y a 200 nouvelles personnes, donc u1 = 38 200.
Pour calculer u2 on suit le même programme de calcul : 38 200 × 0,95 = 36 290 et 36 290 + 200 = 36 490.
Donc u2 = 36 490.
2 On a : u_{1}-u_{0}=38200-40000=-800.
Et u_{2}-u_{1}=36490-38200=-1710.
La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante donc la suite (un) n'est pas une suite arithmétique.
On a : \frac{u_{1}}{u_{0}}=\frac{38200}{40000}=0,955.
Et \frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{36490}{38200}\approx {0,9552356}.
Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant donc la suite (un) n'est pas une suite géométrique.
3 Le coefficient de 0,95 correspond à une baisse de 5 %, il s'applique au rang précédent. À ce calcul on ajoute 200 correspondant à l'arrivée des 200 nouvelles personnes.
Donc pour tout nombre entier naturel n, on a : u_{n+1}=0,95u_{n}+200.
4 
a) Pour tout entier n on a : \frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{u_{n+1}-4000}{u_{n}-4000}.
Or on sait que : u_{n+1}=0,95u_{n}+200.
Donc : \frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{0,95u_{n}+200-4000}{u_{n}-4000}.
C'est-à-dire : \frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{0,95u_{n}-3800}{u_{n}-4000}=0,95.
En effet on a 3800 = 0,95 × 4000, on factorise ensuite le numérateur par 0,95.
La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme :
v_{0}=u_{0}-4000=40 000-4000=36 000.
b) D'après le cours sur les suites géométriques, on sait que pour tout entier n, on a :
v_{n}=36000\times 0,95^{n}.
Or v_{n}=u_{n}-4000.
Donc : u_{n}=v_{n}+4000=36000\times 0,95^{n}+4000.
c) En 2017 (2017 = 2012 + 5), on a n = 5.
Donc u_{5}=36000\times 0,95^{5}+4000\approx {31856,12}.
En 2017, le nombre d'habitants sera donc approximativement de 31 856.
d) La suite (vn) est une suite géométrique de raison positive strictement inférieure à 1, sa limite est donc nulle. La suite (un) tend donc vers 4 000. Ce qui signifie que dans beaucoup d'années, il n'y aura plus que 4 000 habitants dans cette ville.