Sujet national, juin 2011, exercice 4


Énoncé

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant x centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l'intervalle [0,1 ; 10] par :
B(x) = 10 \times \frac{1 + \ln{x}}{x}.
Si B(x) est positif, il s'agit d'un bénéfice ; s'il est négatif, il s'agit d'une perte.
1 
Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l'écran suivant :
Exercice 4 - illustration 1
a) Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.
b) Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise.
2 
a) Démontrer qu'une primitive de la fonction B sur l'intervalle [0,1 ; 10] est la fonction F définie sur [0,1 ; 10] par :
F(x) = 5\ln{x}(\ln{x} + 2).
b) Calculer \int^{1,5}_{0,5}B(x)\,\mathrm{d}x puis en donner une valeur approchée à 10 −3 près.
Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d'euros lorsque l'entreprise produit et vend chaque mois un nombre d'objets compris entre 50 et 150.
3 Pour quel nombre d'objets le bénéfice mensuel B est-il maximal ? Justifier la réponse par un calcul.
Annexe
Exercice 4 - illustration 2

Annexes

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