Sujet national, juin 2011, exercice 4

Énoncé

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant x centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l'intervalle [0,1 ; 10] par :
B(x) = 10 \times \frac{1 + \ln{x}}{x}.
Si B(x) est positif, il s'agit d'un bénéfice ; s'il est négatif, il s'agit d'une perte.
1 
Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l'écran suivant :
Exercice 4 - illustration 1
a) Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.
b) Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise.
2 
a) Démontrer qu'une primitive de la fonction B sur l'intervalle [0,1 ; 10] est la fonction F définie sur [0,1 ; 10] par :
F(x) = 5\ln{x}(\ln{x} + 2).
b) Calculer \int^{1,5}_{0,5}B(x)\,\mathrm{d}x puis en donner une valeur approchée à 10 −3 près.
Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d'euros lorsque l'entreprise produit et vend chaque mois un nombre d'objets compris entre 50 et 150.
3 Pour quel nombre d'objets le bénéfice mensuel B est-il maximal ? Justifier la réponse par un calcul.
Annexe
Exercice 4 - illustration 2

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions ; intégration.
Résolution graphique d'équations, d'inéquations
Primitives
Intégrale
Valeur moyenne d'une fonction
Nos conseils
1 
a)  Remarquez que les réponses 3, 4 et 5 du logiciel correspondent à la résolution d'une équation, d'une inéquation et à la recherche d'un maximum.
b)  Il s'agit de résoudre une inéquation. Faites attention pour interpréter son résultat, x est exprimé en centaines d'objets fabriqués.
2 
a)  Il s'agit de montrer que F'(x) = B(x) pour tout x \in [0,1 ; 10]. Remarquez que la fonction F est un produit de fonctions.
b)  En utilisant la question 2 a), exprimez cette intégrale en fonction de la fonction F.
3 Dérivez la fonction B pour déterminer ses variations, puis son maximum sur l'intervalle [0,1 ; 10] : ce maximum est aussi l'antécédent de 10 par la fonction B.

Corrigé

1 
a) La commande 3 correspond à la résolution de l'équation B(x)=0.
La réponse donnée est exp(−1), cela signifie que la courbe représentative de la fonction B coupe l'axe des abscisses en \mathrm{e}^{-1}.
La commande 4 correspond à la résolution de l'inéquation B(x)>0.
La réponse donnée est x>\mathrm{e}^{-1}.
Cela signifie que lorsque x>\mathrm{e}^{-1}, la courbe représentative de la fonction B se situe au-dessus de l'axe des abscisses.
La commande 5 correspond à la recherche du maximum de la fonction B sur l'intervalle [0,1 ; 10], la réponse donnée est 10, cela signifie que 10 est le maximum de la fonction B sur l'intervalle donné.
Exercice 4 - illustration 3
b) Pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0,1 ; 10] on a :
B(x)=0 \Leftrightarrow 10\times \frac{1+\ln x}{x}=0 \Leftrightarrow 1+\ln x =0
\Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{\ln x}=\mathrm{e}^{-1} \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{-1}.
On a \mathrm{e}^{-1}\approx{0,367\,88}.
Donc en vendant 37 objets, le bénéfice de l'entreprise sera nul. En vendant moins d'objets il sera négatif, avec plus d'objets vendus il sera positif.
2 
a) 
Sur l'intervalle [0,1 ; 10] on considère la fonction F définie par :
F(x)=5\ln x(\ln x+2).
F est de la forme uv, sa dérivée F' sera de la forme u'v + uv'.
Pour tout réel x appartenant à [0,1 ; 10], on a :
u(x)=5\ln x d'où u'(x)=\frac{5}{x},
et v(x)=\ln x+2 d'où v'(x)=\frac{1}{x}.
Donc F'(x)=\frac{5}{x}\times (\ln x+2)+5\ln x\times \frac{1}{x}.
F'(x)=\frac{5\ln x+10}{x}+\frac{5\ln x}{x}=10\times \frac{\ln x+1}{x}=B(x).
Donc une primitive de la fonction B sur l'intervalle [0,1 ; 10] est la fonction F.
b) On a :\displaystyle \int_{0,5}^{1,5}B(x)\,\mathrm{d}x=[F(x)]_{0,5}^{1,5}=F(1,5)-F(0,5).
Or F(1,5)=5\ln 1,5(\ln 1,5+2)\approx{4,876\,66},
et F(0,5)=5\ln 0,5(\ln 0,5+2)\approx{-4,529\,21}.
Donc F(1,5)-F(0,5)\approx {4,877+4,529}\approx {9,406}.
Par conséquent \displaystyle \int_{0,5}^{1,5}B(x)\,\mathrm{d}x\approx {9,406}.
3 Pour tout réel x appartenant à [0,1 ; 10], la fonction B est du type 10\times \frac{u}{v}, sa dérivée B' sera du type 10\times \frac{u'v-uv'}{v^{2}},
avec u(x)=1+\ln x d'où u'(x)=\frac{1}{x},
et v(x) = x d'où v'(x) = 1.
Donc B'(x)=10\times \frac{\frac{1}{x}\times x-(1+\ln x)\times 1}{x^{2}},
soit B'(x)=\frac{-10\ln x}{x^{2}}.
Remarque : cela correspond à la réponse 2.
On a B'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1.
Lorsque x \in \,[0,1\,;\,1[ alors B'(x) > 0.
Lorsque x \in \,]1\,;\,10] alors B'(x) < 0.
Donc lorsque x est égal à 1, la fonction B admet un maximum.
Le bénéfice est maximal pour 100 objets, il est égal à 10 000 euros.