Sujet national, juin 2011, exercice 3

Énoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
1 
La fonction f est définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels \mathbb{R} par : f(x) = \mathrm{e}^{-2x + 1}.
On note f' sa fonction dérivée.
a) Pour tout x de \mathbb{R}, f'(x) = \mathrm{e}^{-2}.
b) Pour tout x de \mathbb{R}, f'(x) = \mathrm{e}^{-2x + 1}.
c) Pour tout x de \mathbb{R}, f'(x) = -2\,\mathrm{e}^{-2x + 1}.
2 
On donne le tableau de variation d'une fonction g définie et continue sur l'intervalle [−5 ; 12].
Exercice 3 - illustration 1
a)  \int^{2}_{-5}g(x)\,\mathrm{d}x = 7.
b) L'équation g(x) = 0 admet exactement deux solutions sur l'intervalle [−5 ; 12].
c) Pour tout x appartenant à l'intervalle [−5 ; 8], g(x) < 0.
3 
La courbe \mathcal{C} donnée ci-après est la représentation graphique d'une fonction h définie et dérivable sur l'intervalle ]0\,\,;\,+\infty[. La droite (AB), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe \mathcal{C} au point B d'abscisse 1.
Exercice 3 - illustration 2
On note h' la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle ]0\,; + \infty[.
a)  h'(1) = 0.
b)  h'(1) = 1,5.
c)  h'(1) = -\frac{2}{3}.
4 
Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d'une primitive de la fonction h (introduite à la question 3) sur l'intervalle ]0\,;\,+\infty[. Préciser laquelle.
a) 
Exercice 3 - illustration 3
b) 
Exercice 3 - illustration 4
c) 
Exercice 3 - illustration 5

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions.
Fonction exponentielle
Variations d'une fonction
Intégrale
Théorème des valeurs intermédiaires
Tangente à une courbe
Primitive
Nos conseils
1 Rappelez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, (e u )' = u'e u sur I.
2 Remarquez qu'une des réponses est fausse et que pour une autre, rien ne permet d'affirmer qu'elle est vraie.
3 Que représente h'(1) par rapport à la droite (AB) ?
4 Observez le signe de h(x) pour obtenir les variations de sa primitive. Déterminez ensuite laquelle des courbes convient.

Corrigé

1 La fonction f définie sur l'ensemble des réels est de la forme e u , sa dérivée sera donc de la forme u'e u .
Pour tout réel x, on a u(x)=-2x+1 donc u'(x)=-2.
Donc pour tout réel x on a :
f'(x)=-2\,\mathrm{e}^{-2x+1}.
La bonne réponse est donc la réponse c).
2 La lecture du tableau de variation permet de dire que l'équation g(x) = 0 admet deux solutions, la bonne réponse est donc la réponse b).
En effet, sur l'intervalle [2 ; 8], la fonction g est définie, continue et strictement croissante, et on a g(2) = − 8 < 0 et g(8) = 1 > 0. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 8].
La seconde solution est donnée dans le tableau : g(12) = 0.
3 On sait que la droite (AB) est la tangente à la courbe représentative de la fonction h au point B d'abscisse 1.
Le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au nombre dérivé de la fonction en ce point.
Donc h'(1)=\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\frac{0-3}{1-3}=\frac{3}{2}.
La bonne réponse est donc la réponse b).
4 
Les variations d'une primitive de la fonction h se déduisent du signe de h(x) sur l'intervalle ]0\,;\, + \infty[.
D'après la représentation graphique de la fonction h donnée à la question précédente, on en déduit le tableau de signes de h et donc le tableau de variation d'une primitive de h. \alpha est la racine de l'équation h(x) = 0 sur l'intervalle [2 ; 3].
Exercice 3 - illustration 6
Donc la bonne réponse est la réponse a).