Sujet national, juin 2011, exercice 2

Énoncé

Une chaîne de production d'une usine fabrique des vêtements pour nourrissons. Une étude statistique a montré que :
  • 12 % des vêtements fabriqués ont un défaut dans la couleur ;
  • parmi les vêtements ayant un défaut dans la couleur, 20 % ont un défaut dans la forme ;
  • parmi les vêtements n'ayant pas de défaut dans la couleur, 8 % présentent un défaut dans la forme.
On appelle C l'événement : « le vêtement présente un défaut dans la couleur » et \overline{C} l'événement contraire.
On appelle F l'événement : « le vêtement présente un défaut dans la forme » et \overline{F} l'événement contraire. Un employé choisit un vêtement au hasard, dans un lot de vêtements fabriqués et conformes à l'étude statistique ci-dessus.
1 Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
2 
a) Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme.
b) Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme.
c) Les événements C et F sont-ils indépendants ? Justifier.
3 Le directeur de l'usine affirme que 92 % des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut. Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.
4 Les employés de l'usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel.
L'un d'entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants.
Quelle est la probabilité pour qu'aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut ? Le résultat sera arrondi à 10 −3.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Probabilités.
Arbre pondéré
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Formule des probabilités totales
Épreuve de Bernoulli
Loi binomiale
Nos conseils
1 Commencez par l'événement C. Complétez l'arbre pondéré en utilisant la formule : pour tout événement A, p(\bar{A}) = 1 − p(A).
2 
a) Faites attention car il s'agit de la probabilité de l'intersection de deux événements et non une probabilité conditionnelle.
b) Pensez à utiliser la formule des probabilités totales en trouvant une partition de F.
c) Deux événements A et B sont indépendants si p(A \cap B) = p(A\times p(B).
3 Là aussi, il s'agit de la probabilité de l'intersection de deux événements.
4 Remarquez qu'il s'agit de la répétition, de façon indépendante, d'une épreuve de Bernoulli.

Corrigé

1 
Exercice 2 - illustration 1
2 
a) On cherche la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme, c'est-à-dire : p(C \cap F).
Or p(C \cap F)= p(C)\times p_{C}(F)=0,12\times 0,2=0,024.
Donc la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme est égale à 0,024.
b) On cherche p(F). D'après la formule des probabilités totales on a :
p(F)=p(C \cap F)+p(\overline {C} \cap F).
En utilisant l'arbre de la question 1, on a :
p(F)=0,12\times 0,2+0,88\times 0,08=0,0944.
Donc la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme est égale à 0,0944.
c) On a p(C) \times p(F) = 0,12 \times 0,094\,4 = 0,011\,328.
Et d'après la question 2 a), p(C \cap F)=0,024.
Donc p(C \cap F)\ne p(C)\times p(F).
Les événements C et F ne sont donc pas indépendants.
3 On a p(\overline {C} \cap \overline {F})=0,88\times 0,92=0,8096.
Donc environ 81 % des vêtements ne présentent aucun défaut et non 92 %, l'affirmation du directeur est fausse.
4 
On répète trois fois la même expérience ayant deux issues, on est dans le cas d'une épreuve de Bernoulli, on peut représenter la situation avec un arbre.
On note D l'événement : « le vêtement ne comporte aucun défaut », on a p(D) = 0,8096 et p(\overline {D})=1-p(D)=0,1904.
Exercice 2 - illustration 2
La probabilité pour qu'aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut est donc égale à 0,8096^{3} \approx 0,531.