Sujet national, septembre 2010, exercice 1

Énoncé

On s'intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d'un certain pays en 2006.
Dans cette population :
58 % sont des femmes ;
5 % des personnes sont atteintes d'une maladie incurable appelée maladie A, et parmi celles-ci les deux tiers sont des femmes.
On choisit au hasard une personne dans cette population.
On note F l'événement : « la personne choisie est une femme » ;
H l'événement : « la personne choisie est un homme » ;
A l'événement : « la personne choisie est atteinte de la maladie A » ;
\overline{A} l'événement : « la personne choisie n'est pas atteinte de la maladie A ».
Les résultats seront arrondis au millième.
1 
a) Donner la probabilité de l'événement F et celle de l'événement A.
Donner la probabilité de l'événement F sachant que l'événement A est réalisé, notée p_{A}(F).
b) Définir par une phrase l'événement A \cap F puis calculer sa probabilité.
c) Montrer que la probabilité de l'événement A sachant que F est réalisé est égale à 0,057 à 10 −3 près.
2 La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la maladie A est égale à 0,040 à 10 −3 près.
3 Peut-on affirmer que, dans ce pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie A qu'un homme ? Justifier.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Probabilités.
Arbre pondéré
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Formule des probabilités totales
Nos conseils
1 
a) Remarquez que les probabilités sont données dans l'énoncé.
b) Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
c) Utilisez de nouveau la formule des probabilités conditionnelles.
2 Utilisez de nouveau la formule des probabilités conditionnelles, puis celle des probabilités totales pour calculer p(A \cap H).
3 Il s'agit de comparer p_{F}(A) et p_{H}(A).

Corrigé

1 
a) D'après l'énoncé on sait que 58 % de la population sont des femmes donc p(F) = 0,58.
Toujours d'après l'énoncé, on sait que 5 % de la population est atteinte de la maladie A donc p(A) = 0,05.
Enfin, parmi les personnes atteintes de la maladie A, les deux tiers sont des femmes, donc p_A(F)~=~\frac{2}{3}.
b)  A\cap F est l'événement : « la personne choisie est atteinte de la maladie A et c'est une femme ». On sait que : p(A \cap F)=p_{A}(F)\times p(A).
D'où : p(A \cap F)=\frac{2}{3}\times 0,05\approx{0,033}.
c) D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a : p_{F}(A)=\frac{p(A \cap F)}{p(F)}.
D'où : p_{F}(A)=\frac{0,033}{0,58}\approx{0,057}.
2 On cherche à calculer p_H(A). D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
p_{H}(A)=\frac{p(A \cap H)}{p(H)}.
Les événements H et F forment une partition de la population, donc : p(H) + p(F) = 1 soit p(H)= 1- p(F) = 1 - 0,58 = 0,42.
Calcul de p(A\cap H). D'après la formule des probabilités totales on a :
p(A) = p(A\cap F) + p(A\cap H)
d'où p(A\cap H)= p(A) - p(A\cap F)\approx 0,05 -0,033 \approx 0,017.
Donc p_{H}(A)=\frac{0,017}{0,42}\approx{0,040}.
3 On sait, d'après la question 1 c) que p_F(A) = 0,057 et, d'après la question 2, que p_H(A) = 0,040. Puisque 0,057 est strictement supérieur à 0,040, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risque davantage de développer la maladie A qu'un homme.