Polynésie, septembre 2010, exercice 4


Énoncé

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] par :
f(x) = -x^{2} - x + 4 + \ln(x + 1).
On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans le repère orthogonal ci-dessous.
On note f' la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0 ; 4].
Courbe de la fonction f
Exercice 4 - illustration 1
1 Calculer f'(x).
2 Justifier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].
3 Montrer que, sur l'intervalle [0 ; 4], l'équation f(x) = 0 possède une unique solution α. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,01.
En déduire le signe de f(x) sur l'intervalle [0 ; 4].
4 On définit la fonction F dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] par :
F(x) = -\,\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 3x + (x + 1)\ln(x + 1).
Montrer que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].
5 Soit A l'aire, en unités d'aire, du domaine \mathcal{D} délimité par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
a) Hachurer le domaine \mathcal{D} sur la figure précédente.
b) Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de A.
c) Calculer la valeur exacte en unités d'aire de A. Vérifier la cohérence de vos résultats.

Annexes

© 2000-2020, rue des écoles