Polynésie, septembre 2010, exercice 4

Énoncé

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] par :
f(x) = -x^{2} - x + 4 + \ln(x + 1).
On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans le repère orthogonal ci-dessous.
On note f' la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0 ; 4].
Courbe de la fonction f
Exercice 4 - illustration 1
1 Calculer f'(x).
2 Justifier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].
3 Montrer que, sur l'intervalle [0 ; 4], l'équation f(x) = 0 possède une unique solution α. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,01.
En déduire le signe de f(x) sur l'intervalle [0 ; 4].
4 On définit la fonction F dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] par :
F(x) = -\,\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 3x + (x + 1)\ln(x + 1).
Montrer que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 4].
5 Soit A l'aire, en unités d'aire, du domaine \mathcal{D} délimité par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
a) Hachurer le domaine \mathcal{D} sur la figure précédente.
b) Par lecture graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs de A.
c) Calculer la valeur exacte en unités d'aire de A. Vérifier la cohérence de vos résultats.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions ; intégration.
Fonction logarithme népérien
Fonctions dérivées
Tableau de signes
Variations d'une fonction
Théorème des valeurs intermédiaires
Primitives
Intégrale
Nos conseils
1 Rappelez-vous que pour une fonction dérivable u telle que u > 0, (ln u)' = \frac{u'}{u}.
2 Écrivez f'(x) sous la forme d'une fonction rationnelle en réduisant son expression au même dénominateur, puis factorisez le numérateur pour étudier le signe de f'(x).
3 Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
4 Calculez F'(x) pour tout x \in [0 ; 4] en remarquant que le quatrième terme à dériver est un produit.
5 
b) Encadrez A à l'aide de l'aire de deux rectangles.
c)  Pour calculer la valeur exacte de A, rappelez-vous que F est une primitive de f sur l'intervalle [0 ; 4].

Corrigé

1 On considère la fonction f définie sur [0 ; 4] par :
f(x)=- x^{2}- x+4+\ln(x+1).
La dérivée f' de la fonction f est définie sur [0 ; 4] par :
f'(x)=- 2x- 1+\frac{1}{x+1}.
2 Pour étudier le sens de variations de la fonction f, il faut étudier le signe de la dérivée f'.
Pour x\in [0 ; 4], on a : f'(x)=-2x-1+\frac{1}{x+1}.
On réduit au même dénominateur :
f'(x)=\frac{(-2x-1)(x+1)}{x+1}+\frac{1}{x+1}.
On développe et on réduit le numérateur :
f'(x)=\frac{-2x^{2}-2x-x-1+1}{x+1}=\frac{-2x^{2}-3x}{x+1}.
On factorise le numérateur :
f'(x)=\frac{x(-2x-3)}{x+1}.
On a -2x - 3 = 0 lorsque x=-\frac{3}{2}.
Donc lorsque x > -\frac{3}{2}, on a −2x − 3 < 0.
Lorsque x > −1, on a x + 1 > 0.
Donc sur l'intervalle [0 ; 4] on a : x > 0, −2x − 3 < 0 et x + 1 > 0.
En appliquant la règle des signes, on en déduit que sur l'intervalle [0 ; 4] f'(x) < 0.
Donc sur l'intervalle [0 ; 4], la fonction f est strictement décroissante.
3 Sur l'intervalle [0 ; 4], la fonction f est continue et strictement décroissante, avec f(0)=-(0)^{2}- 0+4+\ln(0+1)= 4>0,
et f(4)=-(4)^{2}- 4+4+\ln(4+1)\approx{-14,4}<0.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur l'intervalle [0 ; 4].
Avec la calculatrice on trouve :
1,79 \leq α \leq 1,80.
On sait que f(0)= 4 et f(4)\approx-14,4.
De plus la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 4], enfin f(α) = 0 avec 1,79 \leq α \leq 1,80.
On en déduit le tableau de signes de la fonction f :
Exercice 4 - illustration 2
4 Pour montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f, il suffit de montrer que la dérivée de la fonction F est égale à la fonction f, cela sur l'intervalle [0 ; 4].
Avant de calculer la dérivée F' de la fonction F, on peut calculer la dérivée de (x+1)\ln(x+1).
On remarque que c'est de la forme uv, la dérivée sera de la forme u'v+uv'.
Avec u(x)= x+1 donc u'(x)=1
et v(x)=\ln(x+1) donc v'(x)=\frac{1}{x+1}.
La dérivée de (x+1)\ln(x+1) est donc : 1\times \ln(x+1)+(x+1)\times \frac{1}{x+1},
c'est-à-dire \ln(x+1)+1.
Avec ce résultat on a :
F'(x)=-\frac{1}{3}\times 3x^{2}-\frac{1}{2}\times 2x+3+\ln(x+1)+1
F'(x)=-x^{2}-x+\ln(x+1)+4=f(x).
Donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 4], la fonction F est une primitive de la fonction f.
5 
a) 
Exercice 4 - illustration 3
b) 
Exercice 4 - illustration 4
Exercice 4 - illustration 5
Donc par lecture graphique on déduit que 3 < A < 4.
c) On a A=\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x, or la fonction F est une primitive de la fonction f donc \int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=[F(x)]_{0}^{1}.
Par conséquent A=F(1)-F(0)=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+3+2\ln2.
Soit A=-\frac{2}{6}-\frac{3}{6}+\frac{18}{6}+2\ln2=\frac{13}{6}+2\ln2.
On a \frac{13}{6}+2\ln2\approx{3,55} ce qui correspond à la question précédente.