Sujet national, juin 2010, exercice 4

Énoncé

Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché.
Soit x la quantité d'appareils pouvant être vendus, exprimée en milliers.
La fonction d'offre de cet appareil est la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 35] par : f(x) = 153\mathrm{e}^{0,05x}.
Le nombre réel f(x) désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, proposé par les fournisseurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils pouvant être vendus.
La fonction de demande de cet appareil est la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 35] par : g(x) = -116\ln(x + 1) + 504.
Le nombre réel g(x) désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, accepté par les consommateurs, en fonction de la quantité x, exprimée en milliers, d'appareils disponibles.
1 
a) Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 35].
b) Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 35].
c) Les courbes représentatives respectives C_{f} et C_{g} des fonctions f et g, tracées dans un repère orthogonal, sont fournies ci-après.
Lire avec la précision autorisée par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.
Exercice 4 - illustration 1
2 
Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle [0 ; 35] l'équation f (x) = g (x).
Pour cela, on considère la fonction h définie sur l'intervalle [0 ; 35] par h(x) = f(x) - g (x).
a) Déterminer le sens de variation de la fonction h sur l'intervalle [0 ; 35].
On pourra utiliser la question 1.
b) Démontrer que l'équation h(x) = 0 admet une solution unique x0 dans l'intervalle [0 ; 35].
c) À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de x0 au millième.
d) On pose y0 = f(x0). En utilisant la question précédente, calculer l'arrondi de y0 au centième.
e) Sachant que y0 représente le prix unitaire d'équilibre de cet appareil, préciser ce prix à un centime d'euro près. Quel est le nombre d'appareils disponibles à ce prix ?
3 
On prendra dans cette question x0 = 8,871 et y0 = 238,41.
a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 35].
b) On appelle surplus des fournisseurs le nombre réel S défini par la formule :
S = x_{0} \times y_{0} - \int^{x_{0}}_{0} f(x)\,\mathrm{d}x.
Hachurer, sur le graphique, le domaine du plan dont l'aire en unités d'aire est le nombre réel S.
Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre réel S.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions ; intégration.
Fonction exponentielle
Fonction logarithme népérien
Variations d'une fonction
Résolution graphique d'équations, d'inéquations
Théorème des valeurs intermédiaires
Primitives
Intégrale
Nos conseils
1 
a) Dérivez la fonction f en vous rappelant que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, (e u )' = u'e u sur I.
b) Dérivez la fonction g en vous rappelant que pour toute fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, (ln u)' = \frac{u'}{u} sur I.
2 
a) Rappelez-vous que la somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle est une fonction strictement croissante sur cet intervalle.
b) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
e) Faites attention car la quantité x est exprimée en milliers.
3 
a) Rappelez-vous qu'une primitive de la fonction x\mapsto \mathrm{e}^{ax} avec a \neq 0 est la fonction x\mapsto \frac{1}{a} \mathrm{e}^{ax}.
b) Afin de hachurer le domaine du plan correspondant à S, remarquez que S est la différence de deux aires. Calculez S en utilisant la primitive F trouvée au 3. a).

Corrigé

1 
a) La fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 35] par f(x) = 153\,\mathrm{e}^{0,05x} est dérivable sur [0 ; 35] et
f'(x)=153\times 0,05\,\mathrm{e}^{0,05x}>0 sur [0 ; 35].
Donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 35].
b) La fonction g définie sur l'intervalle [0 ; 35] par :
g(x)=-116\ln (x + 1)+504
est dérivable sur [0 ; 35] et :
g'(x)=-\frac{116}{x+1}<0 sur [0 ; 35].
Donc la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 35].
c) 
Graphiquement, on lit : E(8,9 ; 237,5).
Exercice 4 - illustration 2
2 
a)  On considère la fonction h définie sur [0 ; 35] par : h(x)=f(x)-g(x).
La fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 35], donc la fonction − g est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 35].
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 35].
La fonction h est donc strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 35] comme somme de deux fonctions croissantes.
b)  Pour x\in [0\,;\,35], on a : h(x)=153\ \mathrm{e}^{0,05x}+116\ln(x + 1)-504.
h(0)=153\,\mathrm{e}^{0,05\times 0}+116\ln(0 + 1)-504=-351<0.
h(35)=153\,\mathrm{e}^{0,05\times 35}+116\ln(35 + 1)-504\approx 792,14>0
Sur [0 ; 35], la fonction h est strictement croissante, h(0)<0 et h(35)>0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h(x)=0 admet une solution unique x_{0} dans l'intervalle [0 ; 35].
c) Avec la calculatrice, on utilise le tableau de valeurs de la fonction h avec un pas de 0,001 et la valeur initiale de 8,8.
On trouve : h(8,870)\approx -0,0209 et h(8,871)\approx 0,00279.
Donc l'arrondi au millième de x_{0} est : 8,871.
d) On a : y_{0}=f(x_{0}).
Pour calculer y_{0}, on remplace x par 8,871 dans f(x)=153\,\mathrm{e}^{0,05x}.
D'où y_{0}=153\,\mathrm{e}^{0,05\times 8,871}\approx 238,409.
Donc l'arrondi au centième de y_{0} est : 238,41.
e)  y_{0} représente le prix unitaire d'équilibre de cet appareil.
Donc ce prix est égal à 238,41 euros à un centime d'euro près.
Le nombre d'appareils disponibles à ce prix correspond à x_{0} (en milliers).
Il y a donc 8 871 appareils disponibles à 238,41 euros.
3 
a)  Sur l'intervalle [0 ; 35], une primitive de la fonction f est la fonction F définie par :
F(x)=153\times \frac{1}{0,05}\,\mathrm{e}^{0,05x}=3\,060\,\mathrm{e}^{0,05x}.
b) 
Dans l'expression S=x_{0}\times y_{0}- \int_{0}^{x_{0}}f(x)\,\mathrm{d}x, x_{0}\times y_{0} correspond à l'aire du rectangle AEHO.
\int_{0}^{x_{0}}f(x)\,\mathrm{d}x est l'aire du domaine du plan délimité par la courbe de la fonction f, l'axe des abcisses et les droites d'équation x=0 et x=x_{0}.
S=x_{0}\times y_{0}- \int_{0}^{x_{0}}f(x)\,\mathrm{d}x
S=8,871\times 238,41-[F(x)]_{0}^{8,871}
S=2\,114,935\,11-(3\,060\,\mathrm{e}^{0,05\times 8,871}-3\,060\,\mathrm{e}^{0,05\times 0})
S\approx 2\,114,935\,11-(4\,768,181\,12-3\,060)
S\approx 406,754 u.a.
Exercice 4 - illustration 3