Sujet national, juin 2010, exercice 2

Énoncé

Une entreprise a équipé chacun de ses employés d'un seul ordinateur. Pour le suivi de ses ordinateurs, l'entreprise fait appel à un même service de maintenance informatique. Pour évaluer ce service, l'entreprise réalise une enquête et dispose ainsi, pour chaque employé, d'une fiche précisant la marque de son ordinateur et son avis sur le service de maintenance. Il y a trois marques d'ordinateurs Aliet, Balart et Celt :
  • 25 % des employés ont un ordinateur Aliet ;
  • 40 % des employés ont un ordinateur Balart ;
  • le reste des employés ont un ordinateur Celt.
L'enquête a fourni les résultats suivants :
  • parmi les employés équipés d'un ordinateur Aliet, 90 % sont satisfaits du service de maintenance ;
  • parmi les employés équipés d'un ordinateur Balart, 65 % sont satisfaits du service de maintenance ;
  • parmi les employés équipés d'un ordinateur Celt, 80 % sont satisfaits du service de maintenance.
On choisit au hasard la fiche d'un employé de l'entreprise, chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
On note :
  • A l'événement : « La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet » ;
  • B l'événement : « La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Balart » ;
  • C l'événement : « La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Celt » ;
  • S l'événement : « La fiche choisie est celle d'un employé satisfait du service de maintenance ».
1 Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2 Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet et satisfait du service de maintenance.
3 Démontrer que la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé satisfait du service de maintenance est 0,765.
4 Sachant que la fiche choisie est celle d'un employé satisfait du service de maintenance, calculer la probabilité que cet employé soit équipé d'un ordinateur de la marque Celt. Le résultat sera arrondi à 10 −3.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Probabilités.
Arbre pondéré
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Formule des probabilités totales
Nos conseils
1 Commencez par construire l'arbre pondéré en plaçant les marques d'ordinateur. Complétez l'arbre pondéré en utilisant la formule : pour tout événement A, p(\bar{A}) = 1 − p(A).
2 Faites attention : il s'agit de la probabilité de l'intersection de deux événements et non une probabilité conditionnelle.
3 Utilisez la formule des probabilités totales en trouvant une partition de S.
4 Utilisez deux fois la formule des probabilités conditionnelles.

Corrigé

1 
25 % des employés ont un ordinateur Aliet donc p(A)=0,25.
40 % des employés ont un ordinateur Balart donc p(B)=0,4.
Le reste des employés ont un ordinateur Celt donc p(C)=0,35.
On a p_{A}(S)=0,9 ; p_{B}(S)=0,65 ; p_{C}(S)=0,8.
D'où l'arbre suivant :
Exercice 2 - illustration 1
2 La probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet et satisfait du système de maintenance est :
p(A\cap S)=p(A)\times p_{A}(S)=0,25\times 0,9=0,225.
3 D'après la formule des probabilités totales, la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé satisfait du système de maintenance est : p(S)=p(A\cap S)+p(B\cap S)+p(C\cap S),
soit p(S)=0,225+0,4\times 0,65+0,35\times 0,8=0,765.
4  La probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur Celt sachant qu'il est satisfait du système de maintenance est : p_{S}(C)=\frac{p(S\cap C)}{p(S)}=\frac{0,35\times 0,8}{0,765}\approx 0,366.