Sujet national, juin 2010, exercice 1

Énoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.
1 Le nombre −3 est solution de l'équation :
\mathrm{\ln}\,x = -\mathrm{\ln}\,3
\mathrm{\ln}\,(\mathrm{e}^{x}) = -3
\mathrm{e}^{\ln{x}} = -3
\mathrm{e}^{x} = -3
2 Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]0\,; + \infty[ par f(x) = 3\mathrm{\ln}x - 2x + 5. Dans le plan muni d'un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction f en son point d'abscisse 1 admet pour équation :
y = x + 2
y = − x + 4
y = 3x + 1
y = x + 3
3 Un jeu consiste à lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Un joueur donne 3 euros pour participer à ce jeu. Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé :
  • si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros ;
  • si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro ;
  • sinon, il ne reçoit rien.
À ce jeu, l'espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est :
❑ 1
❑ 0
❑ −1
❑ −2

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions ; probabilités.
Fonction exponentielle
Fonction logarithme népérien
Tangente à une courbe
Loi de probabilité discrète
Espérance
Nos conseils
1 Rappelez-vous de l'ensemble de définition de la fonction logarithme népérien.
2 Rappelez-vous de la formule donnant une équation de la tangente à une courbe en un de ses points dont l'abscisse est donné.
3 Calculez les trois gains possibles, ainsi que la probabilité qui est associée à chacun. Puis utilisez la formule de l'espérance.

Corrigé

1 On a \ln(\mathrm{e}^{-3})=-3.
Donc le nombre −3 est solution de l'équation : \ln(\mathrm{e}^{x})=-3.
2 Une équation de la tangente au point d'abcisse 1 est :
y=f'(1)(x-1)+f(1).
f(1)=3\ln1-2\times 1+5=3.
Pour tout x>0 : f'(x)=3\times \frac{1}{x}-2 donc f'(1)=3\times \frac{1}{1}-2=1.
L'équation de la tangente est donc : y=1\times (x-1)+3, soit y=x+2.
3 Le joueur donne 3 euros pour jouer.
Si le numéro est 1, le joueur touche 10 euros, il gagne alors 7 euros.
Si le numéro est 2 ou 4, le joueur touche 1 euro, il perd alors 2 euros.
Si le numéro est 3, 5 ou 6, il perd alors 3 euros.
La probabilité d'obtenir le numéro 1 est égale à : \frac{1}{6}.
La probabilité d'obtenir les numéros 2 ou 4 est égale à : \frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
La probabilité d'obtenir les numéros 3, 5 ou 6 est égale à : \frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Soit X la variable aléatoire représentant le gain ou la perte.
La loi de probabilité de la variable X :
x_i
7
−2
−3
p_i

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}


L'espérance mathématique est égale à E(x)=\sum x_{i}\times p_{i}.
D'où E(X)=7\times \frac{1}{6}+(-2)\times \frac{1}{3}+(-3)\times \frac{1}{2}=\frac{7}{6}-\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=-1.