États-Unis, juin 2010, exercice 1

Énoncé

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [−2 ; 11], et on donne sa courbe représentative C_{f} dans un repère orthogonal (\mathrm{O}\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}), figure ci-dessous.
Exercice 1 - illustration 1
On sait que la courbe C_{f} passe par les points A(−2 ; 0,5), B(0 ; 2), C(2 ; 4,5), D(4,5 ; 2), E(7,5 ; 0) et F(11 ; −0,75).
Les tangentes à la courbe C_{f} aux points A, B, C, D et F sont représentées sur la figure. On utilisera les informations de l'énoncé et celles lues sur la figure pour répondre aux questions.
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.
1  f'(0) est égal à :
❑ A : \frac{1}{2}
❑ B : 2
❑ C : 4
2  f'(x) est strictement positif sur l'intervalle :
❑ A : ]0 ; 11[
❑ B : ]0 ; 7,5[
❑ C : ]−2 ; 2[
3 Une équation de la tangente à la courbe C_{f} au point D est :
❑ A : y = -x + 6,5
❑ B : y = x-6,5
❑ C : y = -2x + 11
4 Une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [−2 ; 11] :
❑ A : admet un maximum en x = 2.
❑ B : est strictement croissante sur l'intervalle [−2 ; 7,5].
❑ C : est strictement décroissante sur l'intervalle ]2 ; 11[.
5 Sur l'intervalle [−2 ; 11], l'équation exp(f(x)) = 1 :
❑ A : admet une solution.
❑ B : admet deux solutions.
❑ C : n'admet aucune solution.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions ; intégration.
Tangente à une courbe
Fonction exponentielle
Primitives
Fonction logarithme népérien
Nos conseils
1 Que représente f'(0) pour la courbe C_f ?
2  f'(x) > 0 sur l'intervalle I entraîne que f est strictement croissante sur l'intervalle I.
3 Rappelez-vous de la formule donnant une équation de la tangente à une courbe en un de ses points dont l'abscisse est donné.
4 Pour tout x \in [−2 ; 11], on a F'(x) = f(x).
5 Ramenez-vous à une équation du type f(x) = constante en utilisant la fonction logarithme népérien.

Corrigé

1  Le nombre dérivé f'(0) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C_{f} au point B d'abscisse 0.
Graphiquement on voit que cette tangente passe par les points de coordonnées B(0 ; 2) et (−1 ; 0). Le coefficient directeur est égal à : \frac{2-0}{0-(-1)}=2. La réponse correcte est la réponse B.
2 D'après la représentation graphique, la fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]−2 ; 2[.
Donc f'(x) est strictement positif sur l'intervalle ]−2 ; 2[.
La réponse correcte est la réponse C.
3 Graphiquement on voit que la tangente à la courbe C_{f} au point D passe par le point de coordonnées (6 ; 0,5).
Le coefficient directeur est égal à : \frac{2-0,5}{4,5-6}=-1.
La réponse A est la seule qui puisse convenir.
4  F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [−2 ; 11] signifie que F'(x) = f(x).
Les variations de la fonction F se déduisent donc du signe de la fonction f.
Graphiquement, on voit que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [−2 ; 7,5], f(x) supérieur ou égal 0.
Donc F est strictement croissante sur l'intervalle [−2 ; 7,5].
La réponse correcte est la réponse B.
5 Sur l'intervalle [−2 ; 11] : exp(f(x)) = 1 \Leftrightarrow f(x) = 0.
Graphiquement on voit que la courbe C_{f} coupe l'axe des abscisses en un seul point : le point E(7,5 ; 0).
Donc sur l'intervalle [−2 ; 11], l'équation : exp(f(x)) = 1 admet une unique solution : 7,5.
La réponse correcte est la réponse A.