Liban, juin 2010, exercice 2

Énoncé

On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par :
g(x) = x + k\mathrm{e}^{ax}k et a sont des nombres fixés.
Sur la figure ci-dessous, la courbe \mathcal{C} représentant la fonction g et la droite D d'équation y = x sont tracées dans un repère orthogonal (unités : 2 cm pour l'axe des abscisses, 1 cm pour l'axe des ordonnées).
Le point E a pour coordonnées (0 ; 6) et le point F a pour coordonnées (3 ; 0). On précise que la droite (EF) est tangente à la courbe \mathcal{C} au point E et la courbe \mathcal{C} admet au point B une tangente horizontale.
On note g' la fonction dérivée de la fonction g.
Le dessin n'est pas à l'échelle.
Exercice 2 - illustration 1
1 
a) Par lecture graphique, déterminer la valeur de g(0).
b) Par lecture graphique, déterminer la valeur de g'(0).
c) Exprimer g'(x) en fonction de a et k.
d) En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de k et a. On justifiera les calculs.
Dans la suite de l'exercice, on prendra g(x) = x + 6\mathrm{e}^{-0,5x}.
2 
On admet que la courbe \mathcal{C} est située au-dessus de la droite D. Soit S le domaine délimité par la courbe \mathcal{C}, la droite D, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 4.
a) Hachurer S sur le graphique.
b) Calculer, en cm2, l'aire \mathcal{A} du domaine S. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0,1 cm2 près.
3  Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point B.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions ; intégration.
Fonction exponentielle
Tangente à une courbe
Fonction logarithme népérien
Intégrale
Nos conseils
1 
a) Remarquez que g(0) est l'ordonnée du point de la courbe \mathcal{C} d'abscisse 0.
b) Que représente g'(0) pour la courbe \mathcal{C} ?
c) Rappelez-vous que pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, (e u )' = u'e u sur I.
d) Utilisez les résultats du 1 a), b) et c) pour exprimer g(0) et g'(0) de deux façons différentes.
2 
b) Déterminez l'intégrale à calculer et rappelez-vous qu'une primitive de la fonction x\mapsto \mathrm{e}^{ax} avec a \neq 0 est la fonction x\mapsto \frac{1}{a} \mathrm{e}^{ax}. Afin de donner la valeur de cette aire en cm2, faites attention à l'échelle.
3 Il s'agit de résoudre l'équation g'(x) = 0 en utilisant la fonction logarithme népérien.

Corrigé

1 
a) La courbe représentative de la fonction g passe par le point E(0 ; 6). Donc g(0) = 6.
b)  g'(0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0.
Or cette tangente est tracée : c'est la droite (EF), et son coefficient directeur est égal à −2. Donc g'(0) = −2.
c) La fonction g est dérivable sur l'ensemble des réels comme somme de fonctions dérivables.
La dérivée de x\mapsto x est égale à 1 et la dérivée de x \mapsto k\,\mathrm{e}^{ax} est égale à x \mapsto ka\,\mathrm{e}^{ax} (k et a étant des nombres réels).
Donc pour tout réel x, on a g'(x) = 1 + ka\mathrm{e}^{ax}.
d) On sait, d'après le a), que g(0) = 6.
On remplace x par 0 dans l'expression de la fonction g, c'est-à-dire dans g(x) = x + k\,\mathrm{e}^{ax}. On obtient k = 6.
On sait aussi, d'après le b), que g'(0) = −2.
On remplace x par 0 dans l'expression de la fonction g', c'est-à-dire dans g'(x) = 1 + ka\,\mathrm{e}^{ax}. On obtient : 1 + 6a = −2.
Soit 6a = −2−1, c'est-à-dire : a = −0,5.
Conclusion : on a k = 6 et a = −0,5.
2 
a) 
Exercice 2 - illustration 2
b) L'aire du domaine S est : \mathcal{A}=\int_{0}^{4}[g(x)-x]\,\mathrm{d}x u.a.
Pour tout réel x, on a : g(x) - x = 6\,\mathrm{e}^{-0,5x} et une primitive de la fonction x\mapsto 6\,\mathrm{e}^{-0,5x} est x\mapsto -12\,\mathrm{e}^{-0,5x}.
Donc \mathcal{A}= \int_{0}^{4}6\,\mathrm{e}^{-0,5x}dx=\left[-12\,\mathrm{e}^{-0,5x}\right]_{0}^{4}=-12\,\mathrm{e}^{-2}+12\,\mathrm{e}^{0},
soit \mathcal{A}=-12\,\mathrm{e}^{-2}+12 u.a.
Or 1 u.a. = 2 cm2.
Donc \mathcal{A}=(-24\,\mathrm{e}^{-2}+24)\;\textrm{cm}^{2}\approx{20,8}\;\textrm{cm}^{2}.
3 On sait d'après l'énoncé que la tangente au point B à la courbe représentative de la fonction g est parallèle à l'axe des abscisses.
Donc g'(x_{\mathrm{B}}) = 0. Or g'(x) = 1 - 3\,\mathrm{e}^{-0,5x}, on doit donc résoudre l'équation : 1 - 3\,\mathrm{e}^{-0,5x} = 0.
On a 3\,\mathrm{e}^{-0,5x} = 1, soit \mathrm{e}^{-0,5x}=\frac{1}{3}.
D'où \ln(\mathrm{e}^{-0,5x})=\ln(\frac{1}{3})
\Leftrightarrow\ -0,5x=-\ln3
\Leftrightarrow\ x=\frac{\ln3}{0,5}=2\ln3.
L'abscisse du point B est donc égale à 2 ln 3, soit 2,2 à 0,1 près.