Liban, juin 2010, exercice 1

Énoncé

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à 0.
1  A et B sont deux événements indépendants et on sait que p(A) = 0,5 et p(B) = 0,2.
La probabilité de l'événement A\,\cup\,B est égale à :
❑ Réponse A : 0,l
❑ Réponse B : 0,7
❑ Réponse C : 0,6
❑ Réponse D : on ne peut pas savoir
2 Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50 % des cahiers ont une reliure spirale et que 75 % des cahiers sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, 40 % ont une reliure spirale.
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu'il soit à grands carreaux est égale à :
❑ Réponse A : 0,3
❑ Réponse B : 0,5
❑ Réponse C : 0,6
❑ Réponse D : 0,75
Dans les questions 3. et 4., on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25 % de ces stylos-feutres sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres.
3 La probabilité, arrondie à 10 −3 près, qu'il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :
❑ Réponse A : 0,250
❑ Réponse B : 0,422
❑ Réponse C : 0,578
❑ Réponse D : 0,984
4 La probabilité, arrondie à 10 −3 près, qu'il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à :
❑ Réponse A : 0,047
❑ Réponse B : 0,063
❑ Réponse C : 0,141
❑ Réponse D : 0,500

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Probabilités.
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Épreuve de Bernoulli
Loi binomiale
Nos conseils
1 Deux événements A et B sont indépendants si p(A \cap B) = p(A\times p(B). Rappelez-vous ensuite la formule permettant de calculer p(A \cup B).
2 Remarquez qu'il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle et exprimez cette probabilité en fonction de celles qui sont données.
3 Commencez par calculer la probabilité de l'événement contraire à celui demandé.
4 Remarquez qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.

Corrigé

Les conseils de l'enseignant
Pour répondre à la question 2. on peut s'aider d'un arbre. La principale difficulté est de savoir s'il faut commencer la construction de l'arbre par les événements sur « les carreaux » ou les événements sur « les spirales ». La phrase « Parmi les cahiers à grands carreaux… » donne une indication sur la probabilité d'avoir une reliure spirale sachant que le cahier a des grands carreaux. On peut donc commencer l'arbre par les événements sur « les carreaux ».
1  A et B sont deux événements indépendants, donc :
p(A \cap B)=p(A) \times p(B).
Comme p(A)=0,5 et p(B)=0,2, alors : p(A \cap B)=0,5\times0,2=0,1.
Or p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B), d'où :
p(A \cup B)=0,5+0,2-0,1=0,6.
La réponse correcte est donc la réponse C.
2 
G est l'événement : « le cahier a des grands carreaux ».
S est l'événement : « le cahier a une reliure spirale ».
On peut construire l'arbre suivant :
Exercice 1 - illustration 1
On cherche p_{S}(G).
p_{S}(G)=\frac{p(G \cap S)}{p(S)}=\frac{0,75 \times 0,4}{0,5}=0,6.
La réponse correcte est donc la réponse C.
3 L'événement « prendre au moins un stylo-feutre vert » a pour événement contraire « ne prendre aucun stylo-feutre vert ». La probabilité de ne prendre aucun stylo-feutre vert, lors d'un tirage, est égale à : 1 − 25 % = 0,75. Pour les trois tirages elle est égale à (0,75)3. Donc la probabilité de prendre au moins un stylo-feutre vert est égale à 1 - (0,75)^{3} \approx 0,578.
La réponse correcte est donc la réponse C.
4 
Soit V l'événement « prendre un stylo-feutre vert », on a :
Exercice 1 - illustration 2
La probabilité de prendre exactement deux stylo-feutres verts est égale à 3 × (0,25)2 × 0,75 \approx 0,141. La réponse correcte est donc la réponse C.