Inde, avril 2010, exercice 1

Énoncé

Lors des journées « rouges » selon Bison Futé, l'autoroute qui relie Paris à Marseille est surchargée.
Il est donc conseillé de prendre un itinéraire de délestage entre Beaune et Valence (qui ne passe pas par Lyon) afin d'éviter les éventuels « bouchons » autoroutiers.
Entre Valence et Marseille il est également conseillé de prendre la route départementale représentée par des pointillés sur la carte.
Bison Futé a publié les résultats d'une étude portant sur les habitudes des automobilistes sur le trajet entre Paris et Marseille lors de ces journées « rouges ».
Exercice 1 - illustration 1
Il s'avère que :
  • 40 % des automobilistes prennent l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence ;
  • parmi les automobilistes ayant suivi l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 30 % prennent la route départementale de Valence à Marseille ;
  • parmi les automobilistes n'ayant pas suivi l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 60 % prennent la route départementale de Valence à Marseille.
On note :
B l'événement « l'automobiliste prend l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence » et \overline{B} l'événement contraire ;
V l'événement « l'automobiliste prend la route départementale entre Valence et Marseille » et \overline{V} l'événement contraire.
1 
a) Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
b) Montrer que la probabilité de l'événement \overline{B} \cap \overline{V} est {p(\overline{B} \cap \overline{V}) = 0,24} et interpréter ce résultat.
c) Calculer la probabilité que l'automobiliste ne choisisse pas la route départementale entre Valence et Marseille.
2 
On donne les temps de parcours suivants :
  • Paris \rightarrow Beaune (par autoroute) : 4 heures ;
  • Beaune \rightarrow Valence (par autoroute, en passant par Lyon) : 5 heures ;
  • Beaune \rightarrow Valence (par itinéraire de délestage, en ne passant pas par Lyon) : 4 heures ;
  • Valence \rightarrow Marseille (par autoroute) : 5 heures ;
  • Valence \rightarrow Marseille (par la route départementale) : 3 heures.
a) Calculer les temps de parcours entre Paris et Marseille, selon l'itinéraire choisi. Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la durée du trajet pour se rendre de Paris à Marseille selon l'itinéraire choisi.
Temps en heures
11
    
    
14
Probabilité
    
    
    
0,24

b) Calculer l'espérance de cette loi en heures et en donner une interprétation (la conversion en heure minute seconde n'est pas attendue).

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Probabilités.
Arbre pondéré
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Formule des probabilités totales
Espérance
Nos conseils
1 
a) Complétez l'arbre pondéré en utilisant la formule :
pour tout événement A, p(\bar{A}) = 1 − p(A).
b) Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
c) Utilisez la formule des probabilités totales en trouvant une partition de \bar{V}.
2.  
a) Calculez les probabilités associées aux quatre temps de parcours qui sont 11 h, 12 h, 13 h et 14 h.
b) Rappelez-vous de la formule de l'espérance : \sum_{i=1}^{4} x_{i} \times p_{i} avec pi = p(X = xi) .

Corrigé

1 
a) 
Construction de l'arbre pondéré :
  • 40 % des automobilistes prennent l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, donc p(B)=0,4 ;
  • parmi les automobilistes ayant suivi l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 30 % prennent la route départementale de Valence à Marseille, donc p_{B}(V)=0,3 ;
  • parmi les automobilistes n'ayant pas suivi l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 60 % prennent la route départementale de Valence à Marseille, donc p_{\overline{B}}(V)=0,6.
D'où l'arbre :
Exercice 1 - illustration 2
b) On a : p(\overline{B}\cap\overline{V})=p(\overline{B}) \times p_{\overline{B}}(\overline{V})=0,6\times 0,4=0,24.
Ce qui signifie que 24 % des automobilistes ne prennent pas l'itinéraire de délestage entre Beaune et Valence ni la route départementale entre Valence et Marseille.
c) On cherche p(\overline{V}).
D'après la formule des probabilités totales, on a : p(\overline{V})=p(B\cap\overline{V})+p(\overline{B}\cap\overline{V})=0,7 \times 0,4+0,24=0,52.
Donc, la probabilité qu'un automobiliste ne choisisse pas la route départementale entre Valence et Marseille est égale à 0,52.
2 
a) 
Dans cette question, il faut calculer les temps de parcours entre Paris et Marseille pour tous les parcours possibles.
On note t le temps de parcours exprimé en heures :
  • Paris \rightarrow Beaune par autoroute, puis Beaune \rightarrow Valence par autoroute et enfin Valence \rightarrow Marseille par autoroute : t = 4 + 5 + 5 = 14. Ce trajet correspond à l'événement \overline{B}\cap\overline{V} avec p(\overline{B}\cap\overline{V})=0,24.
  • Paris \rightarrow Beaune par autoroute, Beaune \rightarrow Valence par autoroute et Valence \rightarrow Marseille par la départementale : t = 4 + 5 + 3 = 12. Ce trajet correspond à l'événement \overline{B} \cap V avec p(\overline{B} \cap V)=0,36.
  • Paris \rightarrow Beaune par autoroute, Beaune \rightarrow Valence par itinéraire et Valence \rightarrow Marseille par la départementale : t = 4 + 4 + 3 = 11. Ce trajet correspond à l'événement B \cap V avec p(B \cap V)=0,12.
  • Paris \rightarrow Beaune par autoroute, puis Beaune \rightarrow Valence par itinéraire et enfin Valence \rightarrow Marseille par autoroute : t = 4 + 4 + 5 = 13. Ce trajet correspond à l'événement B \cap \overline{V} avec p(B \cap \overline{V})=0,28.
D'où :
Temps en heures
11
12
13
14
Probabilité
0,12
0,36
0,28
0,24

b) Par définition, l'espérance E est égale à : \sum x_{i} \times p_{i}.
Donc, E=11\times0,12+12\times0,36+13\times0,28+14\times0,24=12,64.
La durée moyenne du trajet pour se rendre de Paris à Marseille est donc de 12,64 heures (12 heures 38 minutes et 24 secondes).