Sujet national, septembre 2009, exercice 2

Énoncé

Dans un lycée général et technologique, il y a 1 400 lycéens : des élèves de Seconde, Première ou Terminale, et des étudiants en sections de technicien supérieur (STS).
Pour pouvoir disposer des collections de manuels scolaires, tous les lycéens doivent adhérer à la coopérative scolaire et payer une location annuelle d'un montant de 50 € pour les élèves et 60 € pour les étudiants.
Sur l'ensemble des adhérents à la coopérative scolaire, 62,5 % sont les élèves de Seconde, Première ou Terminale. Les autres sont les étudiants de STS.
Depuis quelques années, les élèves de Seconde, Première ou Terminale disposent de chèques-lire avec lesquels ils peuvent règler cette location :
  • 40 % paient leur location à l'aide de ces chèques-lire ;
  • 56 % paient par chèque bancaire ;
  • les autres paient par mandat ou en liquide.
Les étudiants en STS ne disposent pas de chèques-lire :
  • 96 % paient par chèque bancaire ;
  • les autres paient par mandat ou en liquide.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Les 1400 lycéens, élèves comme étudiants, adhèrent à cette coopérative.
1 Calculer le montant des versements effectués par chèques bancaires.
2 Calculer le pourcentage du montant total des locations que cette somme représente.
Partie B
On prend au hasard la fiche d'un adhérent à la coopérative scolaire parmi les 1400 fiches. On note :
  • L l'événement : « l'adhérent est un élève » ;
  • E l'événement : « l'adhérent est un étudiant en STS » ;
  • C l'événement : « l'adhérent paie avec ses chèques-lire » ;
  • B l'événement : « l'adhérent paie avec un chèque bancaire » ;
  • A l'événement : « l'adhérent paie par un autre mode de paiement ».
1 Traduire à l'aide d'un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.
2 
a) Calculer la probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire.
b) Calculer la probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire.
c) Démontrer que la probabilité que l'adhérent ait payé par chèque bancaire est de 0,71.
3 Un adhérent a payé par chèque bancaire. Calculer la probabilité que ce soit un élève.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Probabilités.
Arbre pondéré
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Formule des probabilités totales
Nos conseils
Partie A
1 Commencez par calculer le nombre total d'élèves, puis le nombre d'élèves qui paient par carte bancaire, et faites de même pour les étudiants.
2 Calculez le montant total des locations payées par les lycéens.
Exprimez sous forme de pourcentage le rapport du montant des locations payées par chèque bancaire (résultat du 1) par le montant total des locations.
Partie B
1 Complétez l'arbre pondéré en utilisant la formule :
pour tout événement A, p(\bar{A}) = 1 − p(A).
2 
a) Remarquez tout d'abord que seuls les élèves disposent de chèques-lire, afin de donner une autre expression de p(C). Utilisez ensuite la formule des probabilités conditionnelles pour calculer ctte probabilité.
b) Faites attention car il s'agit de la probabilité de l'intersection de deux événements et non une probabilité conditionnelle.
c) Utilisez la formule des probabilités totales en trouvant une partition de B.
3 Utilisez la formule des probabilités conditionnelles et des résultats numériques de calculs du 2 c).

Corrigé

Les conseils de l'enseignant
Pour la partie B, il est important de faire le lien entre les propositions écrites en toutes lettres et les formules mathématiques.
Partie A
1 Le nombre d'élèves de Seconde, Première ou Terminale est égal à 62,5 % de 1 400, c'est-à-dire 0,625 × 1 400 = 875.
Parmi ces élèves, 56 % paient par chèque bancaire. Or, 56 % de 875 est égal à 0,56 × 875 = 490.
Il y a donc 490 élèves de Seconde, Première ou Terminale qui payent par chèque bancaire.
62,5 % des lycéens sont élèves de Seconde, Première ou Terminale donc 37,5 % des lycéens sont étudiants de STS, leur nombre représente 37,5 % de 1 400, c'est-à-dire 0,375 × 1 400 = 525.
Parmi ces étudiants, 96 % paient par chèque bancaire. Or, 96 % de 525 est égal à : 0,96 × 525 = 504.
Il y a donc 504 étudiants de STS qui payent par chèque bancaire.
Le montant en euros, des versements effectués par chèque bancaire est : 490 × 50 + 504 × 60 = 54 740.
Le montant des versements effectués par chèque bancaire est donc égal à 54 740 €.
2 Le montant total des locations est : 875 × 50 + 525 × 60 = 75 250.
On a donc 54 740 € qui sont réglés par chèque par rapport à un montant total qui est de 75 250 €, c'est-à-dire \frac{54\,740}{75\,250}\approx{0,7274}.
Le pourcentage du montant total des locations que cette somme représente est donc égal à 72,74.
Partie B
1 
Pour compléter l'arbre, on applique la règle des nœuds « la somme des poids des branches issues d'un même nœud vaut 1 ».
Exercice 2 - illustration 1
2 
a) La probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire est la probabilité de l'événement L \cap C :
p(L \cap C) = p(L) \times p_L(C) = 0,625 \times 0,4 = 0,25.
La probabilité que l'adhérent soit un élève ayant payé sa location à l'aide de chèques-lire est égale à 0,25.
b) La probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire est la probabilité de l'événement E\cap B :
p(E \cap B) = p(E) \times p_E(B) = 0,375 \times 0,96 = 0,36.
La probabilité que l'adhérent soit un étudiant en STS ayant payé sa location à l'aide d'un chèque bancaire est égale à 0,36.
c) La probabilité que l'adhérent ait payé par chèque bancaire est la probabilité de l'événement B.
D'après la formule des probabilités totales, on a : p(B) = p(L \cap B) + p(E \cap B).
Or p(L \cap B) = p(L) \times p_L(B) = 0,625 \times 0,56 = 0,35 et p(E \cap B) = 0,36.
Donc p(B) = 0,35 + 0,36 = 0,71, la probabilité que l'adhérent ait payé par chèque bancaire est égale à 0,71.
3 On cherche donc la probabilité que ce soit un élève sachant qu'il a payé par chèque bancaire, c'est-à-dire pB(L).
On a : p_{B}(L)=\frac{p(L \cap B)}{p(B)}=\frac{0,35}{0,71}=\frac{35}{71}.
Donc la probabilité que ce soit un élève sachant qu'il a payé par chèque bancaire est égale à \frac{35}{71}, soit environ 0,49.