Sujet national, septembre 2009, exercice 1

Énoncé

On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [−2 ; 4].
On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
La courbe C_{f}, tracée ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
On note e le nombre réel tel que ln e = 1. La courbe C_{f} passe par les points B(0 ; 2) et A(−1 ; e).
Elle admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
La tangente T au point B à la courbe C_{f} passe par le point D(2 ; 0).
Exercice 1 - illustration 1
1 
En utilisant les données graphiques, donner sans justifier :
a) le nombre de solutions sur l'intervalle [−2 ; 4] de l'équation f(x) = 1 et un encadrement d'amplitude 0,25 des solutions éventuelles ;
b) la valeur de f'(−1) ;
c) le signe de la dérivée f' de la fonction f sur l'intervalle [−2 ; 4].
2 
Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Donner en justifiant :
a) le coefficient directeur de la tangente T ;
b) l'encadrement par deux entiers naturels consécutifs de l'intégrale \int^{0}_{-1}f(x)\,\mathrm{d}x ;
c) 
celle des trois courbes C_{1}, C_{2} et C_{3} ci-dessous qui représente la fonction dérivée f' de la fonction f.
Exercice 1 - illustration 2
Exercice 1 - illustration 3
Exercice 1 - illustration 4

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions.
Résolution graphique d'équations, d'inéquations
Tangente à une courbe
Fonction dérivée
Intégrale
Nos conseils
1 
a) Il s'agit de déterminer le ou les points d'intersection de la courbe C_f et de la droite d'équation y = 1.
b)  Que représente f'(1) pour la courbe C_f ?
c)  Pour répondre, observez les variations de la fonction f.
2 
a)  Remarquez qu'il s'agit du coefficient directeur de la droite (BD).
b) Encadrez cette intégrale par les aires de deux rectangles.
c) Utilisez les réponses aux questions 1 c) et 2 a).

Corrigé

1 
a) 
Pour déterminer graphiquement les solutions de l'équation f(x) = 1, on peut tracer la droite d'équation y = 1 puis lire les abscisses des points d'intersection de la courbe C_{f} avec la droite d'équation y = 1. (Attention les abscisses doivent appartenir à l'intervalle [−2 ; 4].)
Exercice 1 - illustration 5
Sur l'intervalle [−2 ; 4], la courbe et la droite se coupent en deux points d'abscisse x1 et x2.
Donc l'équation f(x) = 1 admet deux solutions x1 et x2 telles que : −2 < x1 < −1,75 et 1 < x2 < 1,25.
b) Le nombre dérivé f'(−1) est égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse −1 à la courbe C_{f}, c'est-à-dire au point A.
Or la tangente à la courbe C_{f} au point A est parallèle à l'axe des abscisses et son coefficient directeur est nul. Donc f' (−1) = 0.
c) On sait que :
  • si la fonction est croissante sur un intervalle, alors sa dérivée est positive sur cet intervalle ;
  • si la fonction est décroissante sur un intervalle, alors sa dérivée est négative sur cet intervalle.
Par lecture graphique, on voit que :
  • lorsque x est compris entre −2 et −1, la courbe représentative de la fonction « monte » et cela veut dire que la fonction est croissante, donc que sa dérivée est positive ;
  • lorsque x est compris entre −1 et −4, la courbe représentative de la fonction « descend » et cela veut dire que la fonction est décroissante, donc que sa dérivée est négative.
Donc f'(xsupérieur ou égal 0 sur [−2 ; −1] et f'(xinférieur ou égal 0 sur [−1 ; 4].
2 
a) D'après l'énoncé, on sait que la tangente T au point B(0 ; 2) à la courbe C_{f} passe par le point D(2 ; 0).
Le coefficient directeur de la droite passant par les points B et D est donné par la formule \frac{y_{\mathrm{D}}-y_{\mathrm{B}}}{x_{\mathrm{D}}-x_{\mathrm{B}}}=\frac{0-2}{2-0}=-1.
Donc le coefficient directeur de la tangente T est égal à −1.
b) 
Sur l'intervalle [−1 ; 0], la fonction f est continue et positive. Par conséquent, l'intégrale est la mesure en unités d'aire du domaine compris entre la courbe C_{f}, l'axe des abscisses, la droite d'équation x = −1 et la droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées).
Exercice 1 - illustration 6
Cette aire est encadrée par les aires des deux rectangles hachurés.
Le premier rectangle a pour longueur 2 et largeur 1. Son aire est donc égale à 2 u.a.
Le second rectangle a pour longueur 3 et largeur 1, son aire est donc égale à 3 u.a.
Donc 2<\int_{-1}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x<3.
c) 
Pour cette question, il faut regrouper les indications concernant la fonction dérivée f' de la fonction f :
f'(−1) = 0 d'après la question 1 b), f'(xsupérieur ou égal 0 sur [−2 ; −1] et f'(xinférieur ou égal 0 sur [−1 ; 4] d'après la question 1 c).
Par lecture graphique de la courbe C_{1}, on voit que f'(0) n'est pas égal à −1, la courbe C_{1} ne convient donc pas.
Sur l'intervalle [−1 ; 4], la courbe de la fonction f' doit être en dessous de l'axe des abscisses afin que sur cet intervalle, f'(x) soit négatif ; la courbe C_{2} ne convient donc pas.
C_{3} est la seule courbe susceptible de représenter la fonction f'.