Amérique du Sud, novembre 2009, exercice 2

Énoncé

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 10 −3 près.
Une étude sur le taux d'équipement en téléphonie des ménages d'une ville a permis d'établir les résultats suivants :
  • 90 % des ménages possèdent un téléphone fixe ;
  • parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87 % ont un téléphone portable ;
  • 80 % des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable.
Notations : Si A et B sont des événements, \bar{A} désigne l'événement contraire de A et PB(A) la probabilité que l'événement A soit réalisé sachant que l'événement B l'est.
On choisit un ménage au hasard et on note :
  • F l'événement : « le ménage possède un téléphone fixe » ;
  • T l'événement : « le ménage possède un téléphone portable ».
1 
a) Grâce aux données de l'énoncé, donner P(F \cap T), P(F) et P_{\bar{F}}(T).
b) Calculer P_{F}(T).
2 Démontrer que la probabilité de l'événement T est 0,887.
3 Sachant que le ménage choisi n'a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe ?
4 On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages.
Quelle est la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable ?

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Probabilités.
Arbre pondéré
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Formule des probabilités totales
Épreuve de Bernoulli
Loi binomiale
Nos conseils
1 
a) Écrivez les pourcentages sous la forme décimale.
b) Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
2 Utilisez la formule des probabilités totales en trouvant une partition de T.
3 Utilisez de nouveau la formule des probabilités conditionnelles, en calculant P(F \cap \bar{T}) à l'aide de la formule des probabilités totales.
4 Remarquez qu'il s'agit de la répétition, de façon indépendante, d'une épreuve de Bernoulli. Pensez à utiliser l'événement contraire.

Corrigé

1 
a) 80 % des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable donc P(F \cap T) = 0,8.
90 % des ménages possèdent un téléphone fixe donc P(F) = 0,9.
Parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87 % ont un téléphone portable, donc P_{\overline{F}}(T)=0,87.
b) Par définition on a : P_{F}(T)=\frac{P(F\cap T)}{P(F)}.
Donc P_F(T) = \frac{0,8}{0,9} \approx 0,889.
2 D'après la formule des probabilités totales on a :
P(T)=P(T\cap F)+P(T\cap \overline{F}).
Or P(T\cap \overline{F})=P_{\overline{F}}(T) \times P(\overline{F}).
De plus, on sait que P_{\overline{F}}(T)=0,87 et P(\overline{F})=1-P(F)=0,1.
Donc, P(T) = 0,8 + 0,87 × 0,1 = 0,887. La probabilité de l'événement T est 0,887
3 On a : P_{\overline{T}}(F)=\frac{P(F\cap \overline{T})}{P(\overline{T})}.
Or, d'après la formule des probabilités totales, on a :
P(F)=P(F \cap T)+P(F \cap \overline{T})
On sait aussi que : P(\overline{T})=1-P(T)=1-0,887=0,113.
On en déduit que : P(F\cap \overline{T})=P(F)-P(F\cap T)=0,9-0,8=0,1.
Donc P_{\overline{T}}(F)=\frac{0,1}{0,113}\approx{0,885}.
Arrondie à 10 −3 près, la probabilité qu'un ménage posséde un téléphone fixe, sachant que le ménage choisi n'a pas de téléphone portable, est égale à 0,885.
4 Choisir successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages est la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes dont la probabilité de succès est égale à 0,887. La loi de probabilité associée au nombre de ménages ayant un téléphone portable est une loi binomiale de paramètres 0,887 et 3. L'événement E : « deux ménages au plus ont un téléphone portable » est l'événement contraire de l'événement « les trois ménages ont un téléphone portable » dont la probabilité est égale à 0,8873.
D'où P(E) = 1 − 0,8873 \approx 0,302.
Arrondie à 10−3 près, la probabilité qu'il y ait au plus deux ménages ayant un téléphone portable parmi les trois ménages est égale à 0,302.