Antilles, septembre 2009, exercice 2

Énoncé

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.
Exercice 2 - illustration 1
On considère la fonction f définie sur ]0\,;\,\mathrm{e}[ \,\cup\, ]\mathrm{e}\,;\,+ \infty[ et représentée par la courbe \mathcal{C}_{f} ci-dessus.
La fonction f est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.
Les points A(1 ; −1) et B\left(2\,;\,\frac{1}{2\ln{2} - 2}\right) appartiennent à \mathcal{C}_{f}.
On désigne par C le point de \mathcal{C}_{f} d'ordonnée 4.
La courbe admet pour asymptotes les axes du repère ainsi que la droite d parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point E(e ; 1).
1  ❑ f(−1) = 1
f(x) = 0 possède une solution sur ]0\,;\,\mathrm{e}[\,\cup\,]\mathrm{e}\,;\,6[
f(1) = −1
2  ❑ f'(4) < 0
f'(4) = 0,7
f'(4) = 2,9
3  ❑ \int^{6}_{5}f(x)\,\mathrm{d}x < \int^{5}_{4}f(x)\,\mathrm{d}x
\int^{6}_{5}f(x)\,\mathrm{d}x\,>\,\frac{1}{2}
❑ La valeur moyenne de f sur [4 ; 5] est 2.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions ; intégration.
Résolution graphique d'équations, d'inéquations
Tangente à une courbe
Intégrale
Valeur moyenne
Nos conseils
1 Rappelez-vous que les points de la courbe représentative de la fonction f ont des coordonnées de la forme (x ; f(x)).
2 Que représente f'(4) pour la courbe \mathcal{C}_f ?
3 Exprimez la valeur moyenne sous la forme d'une intégrale et interprétez graphiquement chacune des intégrales pour pouvoir répondre.

Corrigé

Les conseils de l'enseignant
Les trois premières questions sont des applications directes du cours, pour la dernière question, plus difficile, on vous propose deux méthodes.
1  Réponse : f(1)=-1.
Un point appartient à une courbe lorsque ses coordonnées vérifient l'équation de la fonction associée. Le point A(1 ; −1) appartient à \mathcal{C}_{f} donc f(1) = −1.
2  Réponse : f'(4) < 0.
Le nombre dérivé f'(4) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_{f} au point d'abscisse 4.
4 appartient à l'intervalle ]\mathrm{e}\,;\,+\infty[.
Sur cet intervalle la fonction f est strictement décroissante, donc au point d'abscisse 4 le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathcal{C}_{f} est strictement négatif, c'est-à-dire f'(4) < 0.
3 
Réponse : \int_{5}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x<\int_{4}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x.
On peut répondre en utilisant deux méthodes :
Première méthode : sur l'intervalle ]e ; +\infty[, la fonction f est continue et strictement décroissante.
Pour x < 5, on a f(x) > f(5) donc
\int_{4}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x>\int_{4}^{5}f(5)\,\mathrm{d}x.
Or \int_{4}^{5}f(5)\,\mathrm{d}x=f(5), donc \int_{4}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x>f(5).
Pour x > 5, on a f(x) < f(5) donc
\int_{5}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x <\int_{5}^{6}f(5)\,\mathrm{d}x.
Or \int_{5}^{6}f(5)\,\mathrm{d}x=f(5), donc \int_{5}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x<f(5).
Conclusion : \int_{5}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x<\int_{4}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x
Seconde méthode : par comparaison des aires.
\int_{4}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x représente l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe \mathcal{C}_{f} et les droites d'équation x = 4 et x = 5.
\int_{5}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x représente l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe \mathcal{C}_{f} et les droites d'équation x = 5 et x = 6.
Exercice 2 - illustration 2
L'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe \mathcal{C}_{f} et les droites d'équation x = 5 et x = 6 est inférieure à l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe \mathcal{C}_{f} et les droites d'équation x = 4 et x = 5.
Conclusion : \int_{5}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x<\int_{4}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x