Antilles, septembre 2009, exercice 1

Énoncé

1. « Un accroissement de population de 1,8  % par an peut paraître faible, il correspond pourtant à un doublement de la population en 40 ans ».
Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
2. 
D'après l'INED (Institut national d'études démographiques), la population mondiale a suivi l'évolution suivante :
Année
1960
1970
1980
1990
2000
Rang : x i (0 \leq i \leq 4)
0
10
20
30
40
Population : y i en millions d'habitants (0 \leq i \leq 4)
3 014
3 683
4 453
5 201
6 080

a) Calculer T, le taux d'évolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 (arrondir à 0,1  % près).
b) On appelle t le taux d'évolution moyen annuel, en  %, entre 1960 et 2000.
Montrer que t vérifie \left(1 + \frac{t}{100}\right)^{40}\approx{2,017}.
En déduire une valeur approchée de t (arrondie au dixième de pourcentage).
3. On suppose qu'à partir de l'an 2000, le taux d'évolution annuel de la population reste constant et égal à 1,8  %.
Donner une estimation de la population mondiale en 2008 à 100 millions près.
4. 
a) On décide de modéliser les données du tableau ci-dessus avec un ajustement affine. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés.
b) Calculer la population mondiale en millions d'habitants qui aurait dû être atteinte en 2008 d'après ce modèle (à 100  millions près).
5. En fait, en 2008 on vient de dépasser 6,5 milliards d'habitants.
Des deux estimations précédentes, laquelle est la plus proche de la réalité ?

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Calcul de pourcentage.
Coefficient multiplicateur
Nos conseils
1. Commencez par trouver le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 1,8  %, puis élevez-le à la puissance 40.
2. 
a) N'oubliez pas d'exprimer le résultat sous la forme d'un pourcentage.
b) Pour calculer t, vous aurez besoin de calculer 2,017^{\frac{1}{40}}.
3. Pour trouver le résultat, vous aurez besoin d'élevez le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 1,8  % à la puissance 8.
4. et 5. Les ajustements affines ne sont plus au programme.

Corrigé

1. Pour un accroissement de population de 1,8  %, le coefficient multiplicateur associé est égal 1 + \frac{1,8}{100} soit 1,018.
Pour trouver le nombre d'habitants d'une année il faut multiplier le nombre d'habitants de l'année précédente par le coefficient multiplicateur.
Au bout de 40 ans on doit donc multiplier par 1,01840, avec la calculatrice on trouve : 1,01840 \approx 2,04.
Au bout de 40 ans la population aura donc doublé (même un peu plus !).
2. 
a) L'évolution de la population mondiale entre 1960 et 2000 est égale à : 6 080  −  3 014 = 3 066.
Le taux T d'évolution de la population mondiale entre 1960 et 2000 est égal à T=\frac{3\,066}{3\,014}\approx1,017  .
Entre 1960 et 2000, la population mondiale a donc augmenté d'environ 101,7  %.
b) Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution moyen annuel de t   % est égal à 1+\frac{t}{100}.
En 40 ans, la population est passée de 3 014 millions d'habitants à 6 080 millions d'habitants, le taux t doit donc vérifier :
3\,014 \times(1 + \frac{t}{100})^{40}= 6\,080
soit (1 + \frac{t}{100})^{40}= \frac{6\,080}{3\,014} avec \frac{6\,080}{3\,014}\approx2,017.
Donc (1 + \frac{t}{100})^{40}\approx2,017.
Or 2,0171/40 \approx 1,018, d'où \frac{t}{100}\approx0,018.
Donc une valeur approchée de t, arrondie au dixième de pourcentage, est 1,8  %.
3. Avec un taux d'évolution moyen annuel de la population de 1,8  %, à partir de 2000 jusqu'en 2008, la population mondiale va être multipliée chaque année de 1,018 pendant 8 ans :
6 080  ×  1,0188   \approx  7 012.
Avec un taux d'évolution moyen annuel de la population de 1,8  %, en 2008 la population mondiale devrait dépasser 7 milliards d'habitants.
4. 
a) Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, obtenue à l'aide de la calculatrice, est :
y  = 76,5  ×   x  + 2 956,2.
b) Le rang de l'année 2008 est 48.
On remplace x par 48 dans l'équation y  = 76,5 x  + 2 956,2 et on trouve y  = 76,5  ×  48 + 2 956,2  \approx  6 628.
Avec cet ajustement, la population mondiale aurait dû être de 6,6 milliards d'habitants en 2008.
5. Avec le taux d'évolution, on a trouvé que la population mondiale aurait dû être de plus de 7 milliards d'habitants, avec l'ajustement affine on a trouvé 6,6 milliards d'habitants. En réalité, en 2008 on vient de dépasser 6,5 milliards d'habitants.
C'est donc l'ajustement affine qui donne la meilleure estimation.