Sujet national, juin 2009, exercice 3

Énoncé

Une salle de jeux comporte deux consoles identiques proposant le même jeu.
Un jour, l'une des deux est déréglée.
Les joueurs ne peuvent pas savoir laquelle des deux est déréglée.
1 
Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.
On note :
D l'événement : « le joueur choisit la console déréglée » et \overline{D} l'événement contraire.
G l'événement : « le joueur gagne la partie » et \overline{G} l'événement contraire.
Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figurent certaines probabilités :
Exercice 3 - illustration 1
Ainsi 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi la console déréglée.
a) Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter.
b) Calculer la probabilité de l'événement : « le joueur choisit la console déréglée et il gagne ».
c) Calculer la probabilité de l'événement : « le joueur choisit la console non déréglée et il gagne ».
d) Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.
e) Calculer la probabilité que le joueur ait choisi la console déréglée sachant qu'il a gagné.
2 Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et joue une partie.
Calculer la probabilité de l'événement « le joueur gagne exactement deux fois ». Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Probabilités.
Arbre pondéré
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Formule des probabilités totales
Épreuve de Bernoulli
Loi binomiale
Nos conseils
1 
a) Complétez l'arbre pondéré en utilisant la formule :
pour tout événement A, p(\bar{A}) = 1 − p(A).
b) Faites attention car il s'agit de la probabilité de l'intersection de deux événements et non une probabilité conditionnelle. Pour la calculer, utilisez la formule des probabilités conditionnelles.
c) Utilisez de nouveau la formule des probabilités conditionnelles.
d) Utilisez la formule des probabilités totales en trouvant une partition de G.
e) Utilisez la formule des probabilités conditionnelles et des résultats numériques des questions précédentes.
2 Remarquez qu'il s'agit de la répétition, de façon indépendante, d'une épreuve de Bernoulli.

Corrigé

1 
a) 
On lit sur l'arbre la valeur de p(D), on a p(D) = 0,5, d'où :
p(\overline{D}) = 1 - 0,5 = 0,5.
De même, ayant p_{D}(G)=0,7, on a p_{D}(\overline{G}) = 1 - 0,7 = 0,3.
Et p_{\overline{D}}(G) = 0,2 donne p_{\overline{D}}(\overline{G}) = 1 - 0,2 = 0,8.
D'où l'arbre complété suivant :
Exercice 3 - illustration 2
b) On nous demande p(D \cap G).
Par définition p(D\cap{G}) = p(D) \times p_{D}(G) = 0,5 \times 0,7 = 0,35.
Cela correspond à la première branche de notre arbre.
c) On nous demande p(\overline{D} \cap G).
Par définition : p(\overline{D}\cap G) = p(\overline{D}) \times p_{\overline{D}}(G) = 0,5 \times 0,2 = 0,1.
Cela correspond à la troisième branche de notre arbre.
d)  D et \overline{D} forment une partition. D'où, en utilisant la formule des probabilités totales :
p(G) = p(D \cap G) + p(\overline{D} \cap {G})
p(G) = 0,35 + 0,1 = 0,45.
La probabilité que le joueur gagne est de 0,45.
e) On nous demande p_{G}(D)
Par définition p_{G}(D) = \frac{p(D \cap G)}{p(G)} = \frac{0,35}{0,45} = \frac{35}{45} = \frac{7}{9}.
La probabilité que le joueur ait joué avec la console déréglée sachant qu'il a gagné est de \frac{7}{9}.
2 
La situation peut être modélisée par l'arbre suivant :
Exercice 3 - illustration 3
Trois branches correspondent au fait de gagner exactement deux parties. Chacune de ces branches a pour probabilité 0,45 \times 0,45 \times 0,55.
D'où la probabilité que le joueur gagne exactement deux fois est égale à :
3 \times 0,45 \times 0,45 \times 0,55\approx 0,334.