Sujet national, juin 2009, exercice 2

Énoncé

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [−2 ; 5], décroissante sur chacun des intervalles [−2 ; 0] et [2 ; 5] et croissante sur l'intervalle [0 ; 2].
On note f' sa fonction dérivée sur l'intervalle [−2 ; 5]. La courbe (Γ) représentative de la fonction f est tracée ci-après dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points A(−2 ; 9), B(0 ; 4), C(1 ; 4,5), D(2 ; 5) et E(4 ; 0).
En chacun des points B et D, la tangente à la courbe (Γ) est parallèle à l'axe des abscisses. On note F le point de coordonnées (3 ; 6). La droite (CF) est la tangente à la courbe (Γ) au point C.
Exercice 2 - illustration 1
1 
À l'aide des informations précédentes, préciser sans justifier :
a) les valeurs de f(0), f'(1) et f'(2) ;
b) le signe de f'(x) suivant les valeurs du nombre réel x de l'intervalle [−2 ; 5] ;
c) le signe de f(x) suivant les valeurs du nombre réel x de l'intervalle [−2 ; 5].
2 
On considère la fonction g définie par g(x) = \ln(f(x)) où ln désigne la fonction logarithme népérien.
a) Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur l'intervalle [−2 ; 4[.
b) Calculer g (-2), g (0) et g (2).
c) Dresser le tableau de variation de la fonction g.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions.
Image d'un nombre
Tangente à une courbe
Fonctions dérivées
Résolution graphique d'équations, d'inéquations
Fonction logarithme népérien
Nos conseils
1 
a) Rappelez-vous que les points de la courbe représentative de la fonction f ont des coordonnées de la forme (x ; f(x)) et interprétez graphiquement les valeurs f'(1) et f'(2).
b) et c) Rappelez-vous que le signe de f'(x) est lié aux variations de la fonction f et ne le confondez pas avec le signe de f(x).
2 
a) Quelle condition doit remplir f(x) pour que g(x) soit défini ?
b) Il s'agit de calculer l'image de nombres par une fonction composée. Vous devez déterminer graphiquement f(−2), f(0) et f(2).

Corrigé

1 
a)  f(0) = 4, la courbe passe par le point B(0 ; 4).
f'(1) = \frac{3}{4}, c'est le coefficient directeur de (CF) tangente à (Γ) au point C d'abscisse 1. Attention ! les unités sont différentes sur chaque axe.
f'(2)= 0, (Γ) admet une tangente horizontale au point D d'abscisse 2.
b) 
f est décroissante sur [-2\,;\,0]\cup[2\,;\,5] et croissante sur [0 ; 2], d'où le signe de f' :
Exercice 2 - illustration 2
c) 
(Γ) est au-dessus de l'axe (Ox) jusqu'au point E(4 ; 0), ensuite elle est en dessous. D'où le signe de f(x) :
Exercice 2 - illustration 3
2 
a)  g est définie lorsque f(x) > 0, d'après la question précédente, g est définie sur [−2 ; 4[.
b)  g(-2)= \ln(f(-2)) = \ln\,9
g(0) = \ln(f(0)) = \ln\,4
g(2)=\ln(f(2)) = \ln\,5.
c) 
En résumé, on obtient le tableau des variations de g :
Exercice 2 - illustration 4