États-Unis, juin 2009, exercice 1

Énoncé

Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chaque question, une seule des réponses est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Barème : une réponse juste rapporte 0,5 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.
1 Le prix d'un article subit une première augmentation de 20 % puis une seconde augmentation de 30 %. Le prix de l'article a augmenté globalement de :
❑ 25%
❑ 50 %
❑ 56 %
2 Le nombre réel \frac{\ln{\mathrm{e}}}{\ln{(\mathrm{e}^{2})}} est égal à :
\ln\left({\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)
\frac{1}{\mathrm{e}}
\frac{1}{2}
3 Le nombre réel \mathrm{e}^{-3\ln{2}} est égal à :
\frac{1}{9}
\frac{1}{8}
-8
4 Une primitive F de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \mathrm{e}^{-2x} est définie par :
F(x) = -\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}
F(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}
F(x) = -2\mathrm{e}^{-2x}
5 Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 est :
y = x + 1
y = \mathrm{e}\,x
y = \mathrm{e}^{x}
6 Soit f la fonction définie par f(x) = \frac{x + 1}{\mathrm{e}^{x} - 1}. La fonction f est définie sur :
\mathbb{R}
]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[
]-1\,;\,+\infty[
7 
On considère la fonction logarithme népérien et la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^{2} - 2.
On donne ci-après les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère orthogonal.
Exercice 1 - illustration 1
Dans \mathbb{R}, l'équation \ln{x} = x^{2} - 2 admet :
❑ une solution.
❑ deux solutions de signes contraires.
❑ deux solutions positives.

Le sujet pas à pas

Mobiliser ses connaissances
Thèmes du programme
Fonctions.
Coefficient multiplicateur
Fonction exponentielle
Fonction logarithme népérien
Primitives
Tangente à une courbe
Ensemble de définition d'une fonction
Résolution graphique d'équations, d'inéquations
Nos conseils
1 Déterminez le coefficient multiplicateur associé à chaque augmentation.
2 Rappelez-vous que ln ex = x ln e, pour tout réel x. Ce qui est vrai, en particulier, pour tout nombre entier naturel.
3 Rappelez-vous que, pour tout réel x et tout réel strictement positif a, x ln a = ln ax. Cela est vrai en particulier si x est un entier relatif.
4 Il s'agit de déterminer la fonction F telle que F'(x) = f(x) pour tout x \in \mathbb{R}.
5 Rappelez-vous de la formule donnant une équation de la tangente à une courbe en un de ses points d'abscisse donnée.
6 Vous devez résoudre l'équation ex − 1 = 0.
7 Remarquez que les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Corrigé

1 Bonne réponse : 56 %.
La première augmentation de 20 % revient à multiplier le prix initial par 1,20.
La seconde augmentation de 30 % revient à multiplier le prix obtenu par 1,30.
Au total, on a multiplié le prix initial par 1,20 × 1,30 = 1,56.
Ce coefficient multiplicateur correspond à une augmentation de 56 %.
2 Bonne réponse : \frac{1}{2}.
\ln \mathrm{e} = 1 et \ln \mathrm{e}^{2} = 2\ln \mathrm{e} = 2, d'où \frac{\ln \mathrm{e}}{\ln \mathrm{e}^{2}} = \frac{1}{2}.
3 Bonne réponse : \frac{1}{8}.
\mathrm{e}^{-3\ln\,2} = \mathrm{e}^{-\ln\,2^{3}} = \mathrm{e}^{-\ln{8}} = \mathrm{e}^{\ln\frac{1}{8}} = \frac{1}{8}.
4 Bonne réponse : F(x) = -\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}.
Une primitive de la fonction x\mapsto \mathrm{e}^{ax} est la fonction x\mapsto \frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}.
Une primitive de la fonction x\mapsto \mathrm{e}^{-2x} est donc la fonction {x \mapsto - \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}}.
5 Bonne réponse : y = x + 1.
L'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a est :
y = f'(a)(x - a) + f(a).
Ici a = 0, la tangente a pour équation :
y = f'(0)x + f(0).
De plus f(x) = \mathrm{e}^{x}, d'où f(0) = \mathrm{e}^{0} = 1,
et f'(x) = \mathrm{e}^{x}, d'où f'(0) = \mathrm{e}^{0} = 1.
La tangente à la courbe de la fonction exponentielle en 0 est : y = x + 1.
6 Bonne réponse : ]-\infty\,;\, 0[ \cup ]0\,;\, + \infty[.
La fonction f est définie quand \mathrm{e}^{x} - 1 \neq 0.
On résout \mathrm{e}^{x} - 1 = 0 :
\mathrm{e}^{x} = 1
x = \ln\,1
x = 0.
La fonction est donc définie sur ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\, + \infty[.
7 Bonne réponse : deux solutions positives.
Les solutions de l'équation \ln x = x^{2} - 2 sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Il y a deux points d'intersection, on a donc deux solutions.
Les abscisses de ces deux points sont positives, on a donc deux solutions positives.
Remarque : l'une vaut environ 0,2 et l'autre environ 1,5.