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Amérique du Nord, mai 2013, exercice 3

Énoncé

(5 points)
La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6 000 ouvrages neufs.
On appelle u_n le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année (2013 + n). On donne u_0 = 42.
1. Justifiez que, pour tout entier naturel n, on a u_{n+1}\,=\,u_{n}\,\times\,0,95\,+\,6.
Quel coefficient multiplicateur est associé à une baisse de 5 % ?
2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.
Expliquez ce que permet de calculer cet algorithme.
Variables :
U, N
Initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
Traitement :
Tant que U < 100
U prend la valeur U × 0,95 + 6
N prend la valeur N + 1
Fin du Tant que
Sortie :
Afficher N
3. Avec votre calculatrice, déterminez le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
Vous devez trouver une valeur qui est comprise entre 25 et 30.
Observez ce que calcule la variable U et remarquez que l'algorithme retourne une valeur N.
Partie B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.
On appelle v_n le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année (2013 + n).
1. Identifiez et écrivez la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.
Remarquez que seul un chiffre est à changer dans l'algorithme.
2. On admet que v_{n+1}\,=\,v_{n}\,\times\,0,95\,+\,4 avec v_0=42.
On considère la suite (w_n) définie, pour tout entier n, par w_{n}=v_n-80.
Montrez que (w_n) est une suite géométrique de raison q = 0,95 et préciser son premier terme w_0.
Montrez que pour tout entier naturel n, w_{n+1} peut s'écrire sous la forme w_{n+1} = q\times{}w_n avec q une constante.
3. 
On admet que, pour tout entier naturel n\,:\,w_{n}\,=\,-38\,\times\,(0,95)^{n}.
a) Déterminez la limite de (w_n).
Pour déterminer la limite, remarquez que 0 < 0,95 < 1.
b) Déduisez en la limite de (v_n).
Déduisez le résultat du résultat de la question 3. a).
c) Interprétez ce résultat.
Souvenez-vous ce que représentent les termes de la suite (v_n) et n'oubliez pas qu'ils sont exprimés en milliers.

Corrigé

Partie A
1. 
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5 % est 1 - \frac{5}{100} = 0,95.
Après la suppression de 5 % des ouvrages dans l'année « 2013 + n », n \in \mathbb{N}, le nombre d'ouvrages est, en milliers, de : 0,95 \times{} u_n.
Après l'achat de 6 000 ouvrages neufs dans l'année « 2013 + n », le nombre d'ouvrages au 1er janvier de l'année « 2013 + n + 1 » est, en milliers,  :
0,95 \times{} u_n+ 6 =u_{n+1}.
Donc pour tout entier naturel n : u_{n+1} = 0,95 \times{} u_n+ 6.
2. 
La variable U correspond aux valeurs u_n successives en partant de u_0 = 42, et la variable N correspond à la valeur n associée.
L'algorithme s'arrête lorsque la variable U dépasse 100 et retourne la dernière valeur de N, c'est-à-dire la plus petite valeur de n pour laquelle u_n est strictement supérieur à 100.
Concrètement, cette valeur n étant fixée, l'année « 2013 + n- 1» est la dernière année pour laquelle le nombre d'ouvrages de la médiathèque est encore inférieur à 100 000.
3. 
En programmant la calculatrice, on obtient N = 27.
Tableau de valeurs avec un tableur :
Partie B
1. Pour prendre en compte ce changement, la ligne « U prend la valeur U \times{} 0,95 + 6 » devient « U prend la valeur U \times{} 0,95 + 4 ».
2. 
v_{n+1} = 0,95 \times{} v_n+ 4 pour tout entier naturel n avec v_0 = 42, et w_n = v_n - 80 pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, w_{n+1} =v_{n+1} - 80, puis
w_{n+1} = 0,95 \times{} v_n+ 4 - 80 par définition de v_{n+1} ;
w_{n+1} = 0,95 \times{} v_n - 76 ;
w_{n+1} = 0,95 \times{} v_n - 0,95 \times{} 80 car 76 = 0,95 \times{} 80 ;
w_{n+1} = 0,95 \times{} (v_n - 80) en factorisant par 0,95 ;
w_{n+1} = 0,95 \times{} w_n par définition de w_n.
La suite (w_n) est donc une suite géométrique de raison q = 0,95 et de premier terme w_0 =v_0 - 80 = 42 - 80 = -38.
3. 
a) Pour tout entier naturel n, w_n = -38 \times{} (0,95)^n.
0 < 0,95 < 1 donc \lim\limits_{n \to +\infty} (0,95)^n = 0, puis \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \lim\limits_{n \to +\infty} -38\times (0,95)^n
= -38 \times{} 0 = 0.
On a donc \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = 0.
b) Pour tout entier naturel n, v_n = w_n+ 80 donc :
\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} (w_n + 80) = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n+ 80 = 80 d'après la question 3. a).
On a donc \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 80.
c) Quand le nombre d'années n devient très grand, le nombre d'ouvrages de la médiathèque tend vers 80 000.
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