Triangles (3) : droites remarquables du triangle

• La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance des extrémités de ce segment.

• Propriété : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

• Remarque : Un triangle ABC possède 3 médiatrices, une pour chacun de ses trois côtés. Elles ont un point d'intersection commun (on dit aussi qu'elles sont concourantes) qui est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (cercle passant par les points A, B et C).

• Dans un triangle quelconque, par exemple le triangle MAC, la hauteur issue du sommet M est la droite passant par le point M et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet M. On dit que H est le pied de la hauteur et que (MH) est la hauteur relative au côté [CA].

• Remarques :

• Un triangle possède 3 hauteurs, une hauteur issue de chacun de ses trois sommets. Ces 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
• Dans un triangle, c'est grâce à la mesure d'une hauteur issue de l'un des trois sommets que l'on peut calculer l'aire du triangle en utilisant la formule : A = c × h ÷ 2.

• Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.

• Remarque : Un triangle possède 3 médianes, une médiane issue de chaque sommet.

• Ces 3 médianes sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle.

• Dans un triangle rectangle, le point d'intersection des médiatrices se situe au milieu de l'hypoténuse du triangle. Ce point est donc le centre du cercle circonscrit.

• Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est également la médiane et la médiatrice du côté opposé à ce sommet. De plus, cette droite coupe le triangle en deux triangles rectangles identiques.

• Dans un triangle équilatéral, les trois droites remarquables passant par le même sommet ou coupant le même côté sont confondues. Ces droites sont aussi les axes de symétrie du triangle, donc elles le partage en triangles rectangles identiques.