Sujet inédit, exercice 2

Énoncé

ABCO, CDEO, EFGO et GHAO sont des carrés représentés ci-après. BDFH est un carré de centre O.

Par quelle transformation le triangle OCD est-il l'image du triangle ABC ?

Observez successivement par quelle transformation l'image du point A est le point O, l'image du point B est le point C et l'image du point C est le point D.

Par quelle transformation le triangle GOE est-il l'image du triangle ABC ?

Observez successivement par quelle transformation l'image du point A est le point G, l'image du point B est le point O et l'image du point C est le point E.

Quelle est l'image du point B par la rotation de centre C, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

Rappelez-vous que le quadrilatère ABCO est un carré et faites attention au sens de la rotation.

Quelle est l'image du triangle ABC par la rotation de centre C, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

Déterminez aussi l'image du point A par la rotation de centre C, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Quelle est l'image du point A par la rotation de centre O, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

Rappelez-vous que le quadrilatère GHAO est un carré et faites attention au sens de la rotation.

Quelle est l'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

Déterminez aussi l'image du point B par la rotation de centre O, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Corrigé

On peut remarquer que le point O est l'image du point A par la translation définie par les points A et O.
De même, l'image du point B par cette translation est le point C car le quadrilatère AOCB est un parallélogramme, et l'image du point C par cette translation est le point D car le quadrilatère AOCD est un parallélogramme.

La transformation recherchée est donc la translation définie par les points A et O (qui est la même que celle définie par les points B et C, et les points C et D).

On peut remarquer que le point G est l'image du point A par la translation définie par les points A et G.
De même, l'image du point B par cette translation est le point O car le quadrilatère AGOB est un parallélogramme, et l'image du point C par cette translation est le point E car le quadrilatère AGEC est un parallélogramme.

La transformation recherchée est donc la translation définie par les points A et G (qui est la même que celle définie par les points B et O, et les points C et E).

Le quadrilatère ABCO est un carré donc $\widehat{\mathrm{BCO}}$ = $90^{\circ}$ .
L'image du point B par la rotation de centre C, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le point O.

De même, $\widehat{\mathrm{ACE}}$ = $\widehat{\mathrm{ACO}}$ + $\widehat{\mathrm{OCE}}$ = $45^{\circ}$ + $45^{\circ}$ = $90^{\circ}$ et AC = CE car ce sont les longueurs de diagonales de carrés superposables.
L'image du point A par la rotation de centre C, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le point E.
L'image du point C par cette rotation étant le point C, donc l'image du triangle ABC par cette rotation est le triangle COE.

Le quadrilatère GHAO est un carré donc $\widehat{\mathrm{AOG}}$ = $90^{\circ}$ .
L'image du point A par la rotation de centre O, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le point G.

De même, $\widehat{\mathrm{BOH}}$ = $\widehat{\mathrm{BOA}}$ + $\widehat{\mathrm{AOH}}$ = $45^{\circ}$ + $45^{\circ}$ = $90^{\circ}$ et OB = OH car ce sont les longueurs de diagonales de carrés superposables.
L'image du point B par la rotation de centre O, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le point H.
Aussi, en utilisant le même raisonnement qu'au 5, l'image du point C par cette rotation étant le point A.

L'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le triangle GHA.

Voir le corrigé

Corrigé

La transformation recherchée est donc la translation définie par les points A et O (qui est la même que celle définie par les points B et C, et les points C et D).

La transformation recherchée est donc la translation définie par les points A et G (qui est la même que celle définie par les points B et O, et les points C et E).

L'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre est donc le triangle GHA.