Sujet national, juin 2018, exercice 5

Énoncé

16 points
Voici un programme de calcul.
  • Choisir un nombre
  • Multiplier ce nombre par 4
  • Ajouter 8
  • Multiplier le résultat par 2
1. Vérifier que si on choisit le nombre −1, ce programme donne 8 comme résultat final.
Suivez les étapes du programme de calcul, une par une.
2. Le programme donne 30 comme résultat final, quel est le nombre choisi au départ ?
Dans la suite de l'exercice, on nomme x le nombre choisi au départ.
Il s'agit d'effectuer le programme de calcul, de la fin vers le départ, en effectuant les opérations inverses à celles données.
3. L'expression A = 2(4x + 8) donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre x donné.
On pose B = (4 + x)2x2.
Prouver que les expressions A et B sont égales pour toutes les valeurs de x.
Rappelez-vous que pour tous les nombres a et b, (ab)2 = a2 + 2abb2.
4. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
Affirmation 1. Ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de x.
Affirmation 2.  Si le nombre x choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de 8.
Affirmation 1 : testez plusieurs valeurs pour vous faire une opinion.
Affirmation 2 : essayez de factoriser de nouveau l'expression A.

Corrigé

1. Avec ce programme de calcul, en prenant −1 comme nombre de départ, on obtient successivement les nombres suivants :
−1 × 4 = −4 ; −4 + 8 = 4 ; 4 × 2 = 8.
Si on choisit le nombre −1 au départ, ce programme donne 8 comme résultat final.
2.  Si ce programme donne 30 comme résultat final, on a obtenu successivement (en sens inverse) les nombres suivants :
30 ÷ 2 = 15 ; 15 − 8 = 7 ; 7  ÷  4 = 1,75.
Si ce programme donne 30 comme résultat final, le nombre choisi au départ est 1,75.
3.  Soit x un nombre. Montrons que l'expression B est égale à l'expression A.
En utilisant l'identité remarquable (ab)2 = a2 + 2ab + b2a et b sont deux nombres, on a :
B = (4 + x)2x2
B = 42 + 2 × 4 × x + x2x2
B = 16 + 8x
B = 2 × 8 + 2 × 4x
B = 2(4x + 8) en factorisant l'expression par 2
BA.
Pour toutes les valeurs de x, les expressions A et B sont donc bien égales.
4.  Affirmation 1. En prenant l'expression A = 2(4x + 8), on remarque qu'elle peut être négative, par exemple avec la valeur −3 :
A = 2[4 × (−3) + 8)] = 2 × (−12 + 8) = 2 × (−4) = −8.
L'affirmation 1 est donc fausse.
Affirmation 2. En prenant l'expression A = 2(4x + 8), on remarque que l'on peut la factoriser de nouveau :
A = 2(4x + 8) = 2(4 × x + 4 × 2) = 2 × 4(x + 2) = 8(x + 2).
Si le nombre x choisi au départ est un nombre entier, x + 2 est aussi un nombre entier, donc A = 8(x + 2), qui est le résultat obtenu par le programme est un multiple de 8.
L'affirmation 2 est donc vraie.