Utiliser la proportionnalité dans une figure clé

À l'aide de la propriété de Thalès, on calcule une longueur, lorsque l'on connaît les trois autres longueurs.
Exemple 1
Utiliser la proportionnalité dans une figure clé - illustration 1
On peut écrire :
\frac{2}{x} = \frac{1,7}{3,4} = \frac{a}{b}.
a et b étant inconnus, on utilise :
\frac{2}{x} = \frac{1,7}{3,4}.
On obtient :
x = 4.
Exemple 2
Utiliser la proportionnalité dans une figure clé - illustration 2
On peut écrire :
\frac{4}{4+x} = \frac{a+b}{a} = \frac{2}{4}.
a et b étant inconnus, on utilise :
\frac{4}{4+x} = \frac{2}{4}.
On obtient :
x = 4.
Exercice n°1
Utiliser la proportionnalité dans une figure clé - illustration 3
On donne : (BD) // (FG)
CD = 4
CB = 2
EG = 8
Calcule le rapport \frac{AE}{AC} et déduis-en la valeur de EF.
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
\frac{AE}{AC} =  et EF = .
Applique la propriété de Thalès dans le triangle AEG puis dans le triangle AEF.
• Les côtés de ACD et AEG sont proportionnels.
Donc \frac{AE}{AC} = \frac{EG}{CD} = \frac{8}{4} = 2.
• Les côtés de ABC et AFE sont proportionnels.
Donc \frac{FE}{BC} = \frac{AE}{AC}.
Or \frac{AE}{AC} = 2.
Donc EF = 2 × BC = 4.
Exercice n°2
Utiliser la proportionnalité dans une figure clé - illustration 4
JKML est un trapèze.
JK = 6 ; IK = 5,4 et LM = 10.
Calcule les longueurs des côtés [IM] et [KM].
Écrivez les réponses dans les zones colorées.
IM =  et KM = .
JKML est un trapèze donc (JK) // (/LM) et les côtés des triangles IJK et ILM sont proportionnels.
Alors \frac{IM}{IK} = \frac{LM}{JK}, soit \frac{IM}{5,4} = \frac{10}{6}.
IM = (10 × 5,4) ÷ 6 = 9.
KM = IM − IK = 9 − 5,4.
Exercice n°3
TRES est un trapèze de bases [RE] et [ST]. Ses diagonales sont sécantes en O. Parmi ces propositions, lesquelles sont exactes ?
Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).
\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OS}} = \frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OT}}
\frac{\mathrm{RE}}{\mathrm{ST}} = \frac{\mathrm{OT}}{\mathrm{OE}}
\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OT}} = \frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OS}}
\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OE}} = \frac{\mathrm{OS}}{\mathrm{OT}}
Trace le trapèze TRES et repère les droites parallèles.
• Les côtés des triangles ORE et SOT sont proportionnels. On obtient :
\frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OS}} = \frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OT}} = \frac{\mathrm{RE}}{\mathrm{ST}}.
• On obtient aussi OR × OT = OS × OE, d'où \frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OE}} = \frac{\mathrm{OS}}{\mathrm{OT}}.
Utiliser la proportionnalité dans une figure clé - illustration 5